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Par suite, si le module principal de la fonction

${\frac {\psi (x)}{x}}$

est réel et correspond à une seule valeur de $x,$ on aura, pour de grandes valeurs de $n$

(11)

$\mathbf {S} _{n}=(1\pm \varepsilon )\left({\frac {1}{2\pi n}}\right)^{\frac {1}{2}}\varphi (\omega )\left[{\frac {\psi (\omega )}{\omega }}\right]^{n}\left[{\frac {\psi (\omega )}{\omega ^{2}\psi ''(\omega )}}\right]^{\frac {1}{2}},$

$\varepsilon$ désignant un nombre très-petit. Mais, si le module principal de ${\frac {\psi (x)}{x}}$ correspond à deux valeurs imaginaires et conjuguées de la variable $x,$ alors, en posant

(12)

$\varphi (\omega )\left[{\frac {\psi (\omega )}{\omega }}\right]^{n}\left[{\frac {\psi (\omega )}{\omega ^{2}\psi ''(\omega )}}\right]^{\frac {1}{2}}=\Omega +\Omega _{1}{\sqrt {-1}},$

on aura

(13)

$\mathbf {S} _{n}=(1\pm \varepsilon ){\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi n}}}\Omega .$

Exemple. Soient

(14)

$\varphi (x)=1,\quad \psi (x)={\frac {(t+x)^{2}-1}{2}}\alpha ,\quad t=\cos .\theta ,$

on trouvera

(15)

$\omega =\pm \sin .\theta .{\sqrt {-1}},\quad \psi (\omega )={\frac {(\omega +t)^{2}-1}{2}}\alpha ,\quad \psi ''(\omega )=\alpha .$

Cela posé, si l’on prend

(16)

$\omega =\sin .\theta {\sqrt {-1}},$

on aura

$\psi (\omega )={\frac {\left(\cos .\theta +{\sqrt {-1}}\sin .\theta \right)^{2}-1}{2}}\alpha ={\frac {-2\sin .^{2}\theta +2\sin .\theta \cos .\theta {\sqrt {-1}}}{2}}\alpha$

${\frac {\psi (\omega )}{\omega ^{2}\psi ''(\omega )}}=1-{\frac {\cos .\theta }{\sin .\theta }}{\sqrt {-1}}={\frac {\cos .\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\sin .\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right){\sqrt {-1}}}{\sin .\theta }}$