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On aura par suite

(90)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {R} &=\alpha ,\quad \mathrm {B} =\sin .\theta ,\quad \operatorname {arc.tang} .\mathrm {\frac {Q''}{P''}} ={\frac {\pi }{2}}-\theta \\\mathrm {A} &={\frac {1}{2\pi }},\quad \Theta =0,\quad \mathrm {Q} =\theta \,;\end{aligned}}\right.$

et l'on tirera de la formule (37) du premier paragraphe, après y avoir remplacé $\theta$ par ${\frac {\pi }{2}}-\theta ,$

(91)

$\mathbf {S} _{n}=(1\pm \varepsilon ){\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi \sin .\theta }}}\cos .\left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {1}{4}}\pi \right].$

Ce résultat s'accorde avec celui qu'a obtenu M. Laplace. [Voyez aussi une note de M. Plana insérée dans le 14^e volume de la correspondance astronomique de M. le baron de Zach.]

§ III.

Cherchons généralement la valeur de l'intégrale

(1)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi \left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\left({\frac {\psi \left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{re^{s{\sqrt {-1}}}}}\right)^{n}ds$

$={\frac {1}{1.2.3\ldots n}}{\frac {d^{n}\left[\varphi (i)\left(\psi (i)\right)^{n}\right]}{di^{n}}},$

$i$ devant être supposé nul après les différentiations. On déterminera la valeur de $x$ à laquelle correspond le module principal de la fonction

(2)

${\frac {\psi (x)}{x}}.$

Soit $x=\omega$ cette valeur qui pourra être réelle ou imaginaire. Si l'on fait

(3)

$\left\{{\begin{aligned}v&=\varphi \left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right),\quad u={\frac {\psi \left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{re^{s{\sqrt {-1}}}}},\quad x=re^{s{\sqrt {-1}}},\\w&=\operatorname {l} (u)=\operatorname {l} \left[\psi \left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\right]-\operatorname {l} (r)-s{\sqrt {-1}},\end{aligned}}\right.$