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(79)

$\mathrm {R} =\alpha ,\qquad \mathrm {Q} =\theta .$

Donc le module principal de la fonction (71) sera $\mathrm {R} =\alpha ,$ et la série (69) sera toujours convergente pour $\alpha <1.$ On peut en dire autant de toute série qui représentera le développement de

$\Phi (z),$

$\Phi$ étant une fonction quelconque, et $z$ étant déterminée par la formule (68).

Si l’on voulait développer, en série ordonnée suivant les puissances de $\alpha ,$ le radical

(80)

$\left(1-2\alpha \cos .\theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$

on observerait que ce radical est équivalent à

(81)

${\frac {1}{1-\alpha z}},$

$z$ désignant la racine de l'équation (67) ou

(82)

$z-\cos .\theta -{\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right)=0,$

qui se développe par la formule de Lagrange. On aurait par suite en observant que la dérivée du premier membre de l’équation (82) est précisément $1-\alpha z,$

(83)

$\left(1-2\alpha \cos .\theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\mathcal {E}}{\frac {1}{\left(\left(z-\cos .\theta -{\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right)\right)\right)}}$

$={\mathcal {E}}{\frac {1}{\left(\left(z-t-{\frac {\alpha }{2}}\left(z^{2}-1\right)\right)\right)}},$

ou, ce qui revient au même,