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et les fonctions de cette même racine seront développables en séries convergentes par la formule de Lagrange, lorsqu’on aura

(31)

$c{\frac {e^{r}+e^{-r}}{2r}}<1,\quad {\text{ou}}\quad c<{\frac {2r}{e^{r}+e^{-r}}}.$

D’ailleurs on tire de l'équation (28)

(32)

${\frac {e^{r}+e^{-r}}{r}}={\frac {e^{r}-e^{-r}}{1}}={\frac {2}{\sqrt {r^{2}-1}}},$

(33)

${\frac {2r}{e^{r}+e^{-r}}}={\sqrt {r^{2}-1}}.$

Donc les séries en question seront convergentes quand on aura

(34)

$c<{\sqrt {r^{2}-1}}.$

Il reste à calculer approximativement dans la même hypothèse le terme général d’une semblable série, par exemple, de celle qui fournira le développement de $\Phi (z).$ Or ce terme sera

(35)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}\,{\frac {d^{n-1}\left\{\Phi '(t)\left[c\sin .t\right]^{n}\right\}}{dt^{n-1}}},$

pourvu que l’on fasse $t={\frac {\pi }{2}}$ après les différenciations, ou, ce qui revient au même,

(36)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\Phi '\left({\frac {\pi }{2}}+re^{s{\sqrt {-1}}}\right)\left\{{\frac {c\cos .\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)}{\left(re^{s{\sqrt {-1}}}\right)^{1-{\frac {1}{n}}}}}\right\}^{n}ds.$

Pour comparer cette dernière intégrale à l’intégrale (1) du premier paragraphe, il faudra faire