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toujours l’un des modules de $\psi (x)$ correspondant à une racine de l’équation

$\psi '(x)=0$

est ce que nous nommerons le module principal de la fonction $\psi (x).$ Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante.

i^er Théorème. La série qui a pour terme général

(12)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots m}}\,{\frac {d^{m}\left\{\varphi (t)\left[\varpi (t)\right]^{n}\right\}}{dt^{m}}},$

$m$ désignant un très rand nombre qui croît avec $n$ de manière que ${\frac {m}{n}}=\mu$ conserve une valeur finie, sera convergente ou divergente, suivant que le module principal de la fonction

(13)

${\frac {\varpi (t+x)}{x^{\mu }}}$

sera inférieur ou supérieur à l’unité.

En posant $m=n-1,$ on trouvera $\mu =1-{\frac {1}{n}},$ ou à très-peu près, pour de très-grandes valeurs de $n,$ $\mu =1.$ Par suite, on déduira immédiatement du i^er théorème cette autre proposition.

2^e Théorème. La série qui a pour terme général

(14)

$\mathbf {S} _{n}={\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}\,{\frac {d^{n-1}\left\{\varphi (t)\left[\varpi (t)\right]^{n}\right\}}{dt^{n-1}}},$

sera convergente ou divergente, suivant que le module principal de la fonction

(15)

${\frac {\varpi (t+x)}{x}}$

sera inférieur ou supérieur à l’unité.