Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/359

et, si la partie réelle de $\mathrm {W} ''$ est négative, on aura

(24)

$\mathrm {P} ''<0.$

Cela posé, soit

(25)

$\mathrm {P''=-B^{2}} ,\quad \theta =\operatorname {arc.tang} .\mathrm {\frac {Q''}{P''}} ,$

$\mathrm {B}$ étant une quantité positive, l'équation (18) donnera

(26)

${\begin{aligned}&\int _{\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}}}^{\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}}u^{n}vdx={\frac {\mathrm {V} e^{n\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {-1}}\right)} }}{\mathrm {B} {\sqrt {n}}}}{\sqrt {\frac {2\pi }{1+\operatorname {tang} .\theta {\sqrt {-1}}}}}\\&\qquad ={\frac {\mathrm {V} e^{n\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {-1}}\right)} }}{\mathrm {B} {\sqrt {n}}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}\left(\cos .{\frac {\theta }{2}}-{\sqrt {-1}}\sin .{\frac {\theta }{2}}\right),\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même,

(27)

$\int _{\mathrm {X} -{\frac {a}{\sqrt {n}}}}^{\mathrm {X} +{\frac {a}{\sqrt {n}}}}u^{n}vdx=\mathrm {\frac {V}{B}} {\frac {e^{n\mathrm {P} }{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {n}}}(\cos .\theta )^{\frac {1}{2}}e^{\left(n\mathrm {Q} -{\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {-1}}}.$

Il est essentiel d'observer qu'en vertu des conditions (23) et (24), $\mathrm {P}$ sera nécessairement un maximum de $p,$ et $e^{\mathrm {P} }=\mathrm {U}$ un maximum de $e^{p}=u.$

Lorsque $\mathrm {P}$ est non-seulement un maximum de $p$ mais encore la plus grande des valeurs de $p,$ correspondantes à des valeurs de $x$ comprises entre les limites $x=x_{0},$ $x=x_{1},$ c'est-à-dire, en d'autres termes, lorsque $\mathrm {P}$ est le maximum maximorum de $p,$ alors il est facile de reconnaître que l'on a