proposée n’a aucune de ces valeurs réelles et critiques, il est impossible qu’elle n’ait pas toutes ses racines réelles. En général c’est une même méthode qu’il faut employer, soit pour distinguer les racines imaginaires dans les équations algébriques et pour calculer les valeurs de leurs racines réelles, soit pour distinguer les racines imaginaires des équations transcendantes. et calculer leurs racines réelles. La convergence des séries qui expriment les fonctions transcendantes supplée à la propriété qu’ont les fonctions algébriques d’être réduites à une constante par des différentiations successives.
On peut faire l’application de ces principes aux équations transcendantes qui servent à former l’expression du mouvement de la chaleur dans la sphère, dans les prismes rectangulaires, et dans le cylindre. J’ai rappelé les trois procédés différents dont je me suis servi, dans mes recherches analytiques sur la chaleur, pour résoudre les équations dont il s’agit ; ils donnent tous les trois le même résultat ;
1o On emploie les constructions géométriques, parce qu’elles font connaître très-clairement les limites de chaque racine.
2o J’ai démontré que toutes les racines des équations trigonométriques qui se rapportent à la sphère ou aux prismes sont réelles, en substituant à la place de la variable un binome dont le second terme est imaginaire. On voit, par le résultat de cette substitution, que le coefficient du second terme est nécessairement nul.
3o On démontre aussi que les équations trigonométriques dont il s’agit ont toutes leurs racines réelles, sans qu’il soit nécessaire de regarder comme connue la forme des racines imaginaires ; car la fonction trigonométrique est le produit
