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Exemple. Si l’on pose

(29)

$\operatorname {F} (r)=e^{ar}-1,$

on trouvera

$\operatorname {F} '(r)=ae^{ar},\quad \operatorname {F} '\left[r+\lambda \left(\alpha {\sqrt {-1}}-r\right)\right]=ae^{ar(1-\lambda )}e^{a\lambda \alpha {\sqrt {-1}}}.$

Et comme on a d’ailleurs, en posant $\xi =0,$ après les opérations indiquées par $\alpha ,$

$e^{a\lambda \alpha {\sqrt {-1}}}f\left({\overline {\xi }}\right)=f(\xi +a\lambda )=f(a\lambda ),$

la formule (28) donnera

(30)

$f(x)={\mathcal {E}}{\frac {a\int _{0}^{1}e^{ar(1-\lambda )}f(a\lambda )d\lambda }{((e^{ar}-1))}}e^{rx},$

puis, en faisant pour abréger $a\lambda =\mu ,$

(31)

$f(x)={\mathcal {E}}{\frac {e^{ar}\int _{0}^{a}e^{r(x-\mu )}f(\mu )d\mu }{((e^{ar}-1))}},$

ce qui est exact.

D’après ce qu’on a dit, la formule (28) suppose que le rapport

${\frac {e^{rx}}{\operatorname {F} (r)}}$

s’évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou négatives, de $r,$ ou du moins que le rapport

${\frac {e^{\left(r+s{\sqrt {-1}}\right)x}}{\operatorname {F} \left(r+s{\sqrt {-1}}\right)}}$

s’évanouit pour des valeurs infinies et réelles, positives ou