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$r_{1},r_{2},\ldots$ étant les racines de $\operatorname {F} (r)=0.$ On observera d’abord qu’on a généralement

(25)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\alpha (x-\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )d\alpha d\mu .$

De plus, on tirera de l’équation (20)

(26)

$e^{\alpha x{\sqrt {-1}}}={\mathcal {E}}{\frac {\int _{0}^{1}\operatorname {F} '\left[r+\lambda \left(\alpha {\sqrt {-1}}-r\right)\right]d\lambda }{((\operatorname {F} (r)))}}e^{rx}.$

On aura donc par suite

(27)

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}{\mathcal {E}}{\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{1}e^{-\alpha \mu {\sqrt {-1}}}\operatorname {F} '\left[r+\lambda \left(\alpha {\sqrt {-1}}-r\right)\right].f(\mu )d\lambda d\alpha d\mu }{((\operatorname {F} (r)))}}e^{rx},$

ou, ce qui revient au même,

(28)

$f(x)={\mathcal {E}}e^{rx}{\frac {\int _{0}^{1}\operatorname {F} '\left[r+\lambda \left(\alpha {\sqrt {-1}}-r\right)\right].f\left({\overline {\xi }}\right)d\lambda }{((\operatorname {F} (r)))}}\,;$[1]

le signe ${\mathcal {E}}$ se rapportant à la lettre $r,$ le signe $\alpha$ à la lettre ${\overline {\xi }},$ et la variable $\xi$ devant être réduite à zéro après les opérations qu’indique le signe $\alpha .$

1. Je suppose ici, comme je l’ai déja fait dans les Exercices de mathématiques, que l’on désigne par la notation
   $\varphi (\alpha )f\left({\overline {\xi }}\right)$

   l’intégrale double

   ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\alpha (\xi -\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )\varphi (\alpha )d\alpha d\mu .$