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Je passe maintenant à la solution d’un second problème dont voici l’énoncé.

2^e Problème. Les mêmes choses étant posées que dans le problème 1^er, et $u=f(x,y,z\ldots )$ désignant une fonction quelconque des variables $x,y,z,\ldots$ on propose de développer cette fonction en une série semblable à celle que renferme l’équation (2).

Solution. Pour ramener ce problème au précédent, il suffit de transformer la fonction $u$ en une intégrale de la forme

(21)

$u=\sum \varphi (\rho )\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho ),$

ou

(22)

$u=\int _{\rho _{0}}^{\rho _{1}}\varphi (\rho )\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )d\rho .$

En effet, après avoir effectué cette transformation, on tirera immédiatement des formules (19) et (21) ou (22)

(23)

$u={\mathcal {E}}\operatorname {f} (x,y,\ldots r){\frac {\sum \varphi (\rho )\int _{0}^{1}\operatorname {F} '\left[r+\lambda (\rho -r)\right]d\lambda }{((\operatorname {F} (r)))}},$

ou bien

(24)

$u={\mathcal {E}}\operatorname {f} (x,y,\ldots r){\frac {\int _{\rho _{0}}^{\rho _{1}}\int _{0}^{1}\varphi (\rho )\operatorname {F} '\left[r+\lambda (\rho -r)\right]d\lambda d\rho }{((\operatorname {F} (r)))}}.$

Concevons en particulier qu’il s’agisse de transformer la fonction

$u=f(x)$

en une série de la forme

$\mathrm {R} _{1}e^{r_{1}x}+\mathrm {R} _{2}e^{r_{2}x}+\ldots ,$