Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 7.djvu/706

ou, ce qui revient au même,

(10)

$\varphi (r)={\frac {\operatorname {F} (r)-\operatorname {F} (\rho )}{r-\rho }}+\psi (r),$

$\psi (r)$ désignant une fonction qui ne devienne pas infinie pour des valeurs finies de la variable. Si l’on adopte la valeur précédente de $r,$ la formule (6) deviendra

(11)

${\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {F} (\rho )-(r-\rho )\psi (r)}{(((r-\rho )\operatorname {F} (r)))}}\operatorname {f} (x,y,\ldots r)=0,$

et, si l’on suppose en particulier $\psi (r)=0,$

(12)

$\varphi (r)={\frac {\operatorname {F} (r)-\operatorname {F} (\rho )}{r-\rho }},$

elle se trouvera réduite à

(13)

$\operatorname {F} (\rho ){\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{(((r-\rho )\operatorname {F} (r)))}}=0.$

Or, cette dernière se trouvera vérifiée, pour les systèmes de valeurs des variables $x,y,\ldots$ compris entre certaines limites, si entre ces limites le rapport

(14)

${\frac {\operatorname {f} \left(x,y,\ldots r+s{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {F} \left(r+s{\sqrt {-1}}\right)}}$

s’évanouit pour des valeurs infinies positives ou négatives de l’une des variables $r,s,$ et si le quotient de ce rapport par $r+s{\sqrt {-1}}$ s’évanouit lui-même pour des valeurs infinies et réelles de $r$ et de $s.$ Donc alors l’équation (3) sera vérifiée par la valeur de $\varphi (r)$ que détermine la formule (12), et l’on aura, en supposant les variables $x,y,\ldots$ renfermées entre les limites dont il s’agit,

(15)

$\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )={\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {F} (r)-\operatorname {F} (\rho )}{r-\rho }}\,{\frac {\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{((\operatorname {F} (r)))}}.$