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Solution. Pour résoudre le problème qu’on vient d’énoncer, il suffira évidemment de trouver une fonction $\varphi (r)$ qui demeure finie elle-même pour des valeurs finies de $r,$ et qui soit propre à vérifier l’équation

(3)

$\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )={\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{((\operatorname {F} (r)))}}.$

Or on a identiquement

(4)

$\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )={\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{(r-\rho )}},$

et par suite l’équation (3) pourra être réduite à

(5)

${\mathcal {E}}{\frac {\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{(r-\rho )}}={\mathcal {E}}{\frac {\varphi (r)\operatorname {f} (x,y,\ldots r)}{((\operatorname {F} (r)))}},$

ou, ce qui revient au même, à

(6)

${\mathcal {E}}{\frac {(r-\rho )\varphi (r)-\operatorname {F} (r)}{(((r-\rho )\operatorname {F} (r)))}}\operatorname {f} (x,y,\ldots r)=0.$

Or, si l’on pose

(7)

$(r-\rho )\varphi (r)-\operatorname {F} (r)=\chi (r),$

on en tirera

(8)

$\varphi (r)={\frac {\operatorname {F} (r)+\chi (r)}{r-\rho }},$

et pour que la fonction $\varphi (r)$ reste finie tant que la variable $r$ l’est elle-mêmne, il faudra que l’on ait

(9)

$\operatorname {F} (\rho )+\chi (\rho )=0,$

et par suite

$\varphi (r)={\frac {\operatorname {F} (r)-\operatorname {F} (\rho )}{r-\rho }}+{\frac {\chi (r)-\chi (\rho )}{r-\rho }},$