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$x=\infty ,$ éminemment propre au développement d’une fonction en série d’exponentielles. Alors, en effet, la variable principale $y$ se trouve représentée par une semblable série ; et, si la généralisation de la formule dont il s’agit est légitime, $y$ doit se réduire à une fonction qui reçoive, avec ses dérivées successives, les valeurs particulières données pour $x=x_{0}.$ Toutefois il importe d’observer, 1^o qu’il existe une infinité de fonctions propres à remplir cette dernière condition, 2^o que la formule établie pour des valeurs finies de $x,$ peut devenir inexacte dans le passage du fini à l’infini. Ces difficultés disparaissent devant une quatrième méthode qui a toute la rigueur des deux premières, et s’applique non-seulement au développement des fonctions en exponentielles, mais encore à une multitude de questions du même genre. Cette dernière méthode qui se déduit immédiatement du calcul des résidus, est fondée sur le principe dont j’ai déja fait usage pour déterminer les constantes abstraires comprises dans les intégrales des équations différentielles. Pour la faire mieux saisir, je commencerai par résoudre la question suivante :

1^er Problème. Soient $\operatorname {F} (r)$ et $\operatorname {f} (x,y,\ldots r),$ deux fonctions de $r$ et de $x,y,\ldots$ qui restent finies l’une et l’autre pour des valeurs finies de $r\,;$ $\rho$ une constante détèrminée, et $r_{1},r_{2},$ etc., les racines de l’équation algébrique ou transcendante

(1)

$\operatorname {F} (r)=0.$

On propose de développer la fonction $\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )$ en une série de la forme

(2)

$\operatorname {f} (x,y,\ldots \rho )=\mathrm {R} _{1}\operatorname {f} (x,y,\ldots r_{1})+\mathrm {R} _{2}\operatorname {f} (x,y,\ldots r_{2})+{\text{etc}}.,$

$\mathrm {R} _{1},\mathrm {R} _{1},$ étant des fonctions semblables des racines $r_{1},r_{2},\ldots$