On aura donc la somme totale des moments semblables en multipliant l’expression précédente par
et en intégrant ensuite dans toute l’étendue du corps. D’après cela, désignons comme ci-dessus par
les forces appliquées aux points compris dans le même élément, ces quantités étant des poids rapportés à l’unité de volume. Représentons de plus par
les forces appliquées parallèlement aux axes des
des
des
au point de la surface du corps dont les coordonnées sont
ces quantités désignant des poids rapportés à l’unité de surface, et par
l’élément de la surface situé au même point : on aura
pour les valeurs des forces appliquées à cet élément dans le sens de chaque axe. L’équation qui exprimera l’équilibre des forces intérieures provenant de l’élasticité, et des forces appliquées au corps sera donc
![{\displaystyle 0=\varepsilon \iiint da\,db\,dc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167cb62db7f7448faf58159aa89b76ca121f0d13)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&3{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dx}{da}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {\delta dx}{db}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {\delta dy}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {\delta dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {\delta dy}{da}}+{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dy}{db}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dx}{da}}\\&{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dx}{dc}}+{\frac {dx}{dc}}{\frac {\delta dz}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {\delta dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {\delta dz}{da}}+{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dz}{dc}}+{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dx}{da}}+3{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dy}{db}}\\&{\frac {dy}{dc}}{\frac {\delta dy}{dc}}+{\frac {dy}{dc}}{\frac {\delta dz}{db}}+{\frac {dz}{db}}{\frac {\delta dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}{\frac {\delta dz}{db}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dz}{dc}}+{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dy}{db}}+3{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dz}{dc}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5871987b04f374fc4b17b235053b7cbe0d5db94f)
![{\displaystyle -\iiint da\,db\,dc\left(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\right)-\int ds\left(\mathrm {X} '\delta x'+\mathrm {Y} '\delta y'+\mathrm {Z} '\delta z'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5daf07d365518b8e5f877b7dad3181348bee724)
où l’on a développé les carrés indiqués, et effectué la différentiation marquée par
dans le terme qui contient les moments des forces intérieures. Les forces
sont considérées comme positives quand elles tendent à augmenter les déplacements.
Il faut maintenant faire passer dans le terme dont on vient de parler le
devant le
et effectuer les intégrations par parties qui ont pour objet de faire disparaître les différen-