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$da\,db\,dc.$ On aura donc la somme totale des moments semblables en multipliant l’expression précédente par $da\,db\,dc,$ et en intégrant ensuite dans toute l’étendue du corps. D’après cela, désignons comme ci-dessus par $\mathrm {X,Y,Z}$ les forces appliquées aux points compris dans le même élément, ces quantités étant des poids rapportés à l’unité de volume. Représentons de plus par $\mathrm {X',Y',Z'}$ les forces appliquées parallèlement aux axes des $a,$ des $b,$ des $c,$ au point de la surface du corps dont les coordonnées sont $a',b',c',$ ces quantités désignant des poids rapportés à l’unité de surface, et par $ds$ l’élément de la surface situé au même point : on aura $\mathrm {X} 'ds,\,\mathrm {Y} 'ds,\,\mathrm {Z} 'ds$ pour les valeurs des forces appliquées à cet élément dans le sens de chaque axe. L’équation qui exprimera l’équilibre des forces intérieures provenant de l’élasticité, et des forces appliquées au corps sera donc

$0=\varepsilon \iiint da\,db\,dc$

$\times \left\{{\begin{aligned}&3{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dx}{da}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {\delta dx}{db}}+{\frac {dx}{db}}{\frac {\delta dy}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {\delta dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {\delta dy}{da}}+{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dy}{db}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dx}{da}}\\&{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dx}{dc}}+{\frac {dx}{dc}}{\frac {\delta dz}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {\delta dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {\delta dz}{da}}+{\frac {dx}{da}}{\frac {\delta dz}{dc}}+{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dx}{da}}+3{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dy}{db}}\\&{\frac {dy}{dc}}{\frac {\delta dy}{dc}}+{\frac {dy}{dc}}{\frac {\delta dz}{db}}+{\frac {dz}{db}}{\frac {\delta dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}{\frac {\delta dz}{db}}+{\frac {dy}{db}}{\frac {\delta dz}{dc}}+{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dy}{db}}+3{\frac {dz}{dc}}{\frac {\delta dz}{dc}}\end{aligned}}\right\}$

$-\iiint da\,db\,dc\left(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\right)-\int ds\left(\mathrm {X} '\delta x'+\mathrm {Y} '\delta y'+\mathrm {Z} '\delta z'\right),$

où l’on a développé les carrés indiqués, et effectué la différentiation marquée par $\delta ,$ dans le terme qui contient les moments des forces intérieures. Les forces $\mathrm {X',Y',Z'}$ sont considérées comme positives quand elles tendent à augmenter les déplacements.

Il faut maintenant faire passer dans le terme dont on vient de parler le $d$ devant le $\delta ,$ et effectuer les intégrations par parties qui ont pour objet de faire disparaître les différen-