Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 7.djvu/618

${\frac {1}{2}}\delta \int _{0}^{\infty }d\rho \int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi \int _{0}^{2\pi }d\varphi .\rho ^{4}\cos .\psi .f_{\rho }$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\left.{\begin{aligned}{\frac {dx^{2}}{da^{2}}}\cos .^{4}\psi \cos .^{4}\varphi +\left({\frac {dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}\right)^{2}&\\+2{\frac {dx}{da}}{\frac {dy}{db}}&\end{aligned}}\right\}\cos .^{4}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi \\&\left.{\begin{aligned}\left({\frac {dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}\right)^{2}&\\+2{\frac {dx}{da}}{\frac {dz}{dc}}&\end{aligned}}\right\}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi +{\frac {dy^{2}}{db^{2}}}\cos .^{4}\psi \sin .^{4}\varphi \\&\left.{\begin{aligned}\left({\frac {dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}\right)^{2}&\\+2{\frac {dy}{db}}{\frac {dz}{dc}}\end{aligned}}\right\}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \sin .^{2}\varphi +{\frac {dz^{2}}{dc^{2}}}\sin .^{4}\psi \end{aligned}}\right\}$

En intégrant dabord par rapport à $\varphi ,$ on aura

${\frac {1}{2}}\delta \int _{0}^{\infty }d\rho \int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi .\rho ^{4}.f_{\rho }.{\frac {\pi }{4}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\left.{\begin{aligned}3{\frac {dx^{2}}{da^{2}}}\cos .^{5}\psi +\left({\frac {dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}\right)^{2}&\\+2{\frac {dx}{da}}{\frac {dy}{db}}\end{aligned}}\right\}\cos .^{5}\psi \\&\left.{\begin{aligned}4\left({\frac {dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}\right)^{2}&\\+4.2{\frac {dx}{da}}{\frac {dz}{dc}}\end{aligned}}\right\}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi +3{\frac {dy^{2}}{db^{2}}}\cos .^{5}\psi \\&\left.{\begin{aligned}4\left({\frac {dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}\right)^{2}&\\+4.2{\frac {dy}{db}}{\frac {dz}{dc}}\end{aligned}}\right\}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi +3{\frac {dz^{2}}{dc^{2}}}\sin .^{4}\psi \cos .\psi \end{aligned}}\right\}$

En intégrant ensuite par rapport à $\psi ,$ puis représentant par $\varepsilon$ le coefficient qui restera après l’intégration par rapport à $\rho ,$ il viendra définitivement pour l’expression de la somme de moments dont il s’agit

${\frac {1}{2}}\varepsilon .\delta \left[3{\frac {dx^{2}}{da^{2}}}+\left({\frac {dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}\right)^{2}+2{\frac {dx}{da}}{\frac {dy}{db}}+\left({\frac {dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}\right)^{2}+2{\frac {dx}{da}}{\frac {dz}{dc}}\right.$

$\left.+3{\frac {dy^{2}}{db^{2}}}+\left({\frac {dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}\right)^{2}+2{\frac {dy}{dc}}{\frac {dz}{db}}+2{\frac {dy}{db}}{\frac {dz}{dc}}+3{\frac {dz^{2}}{dc^{2}}}\right].$

5. La valeur de cette somme est la même pour tous les points compris dans l’élément du corps dont le volume est