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alors simplement

${\begin{alignedat}{4}x'&-x&&={\frac {dx}{da}}\alpha &&+{\frac {dx}{db}}\beta &&+{\frac {dx}{dc}}\gamma ,\\y'&-y&&={\frac {dy}{da}}\alpha &&+{\frac {dy}{db}}\beta &&+{\frac {dy}{dc}}\gamma ,\\z'&-z&&={\frac {dz}{da}}\alpha &&+{\frac {dz}{db}}\beta &&+{\frac {dz}{dc}}\gamma .\end{alignedat}}$

Or les projections sur chacun des axes de la distance $mm',$ à laquelle les points $\mathrm {M,M} '$ se sont placés après le changement de figure du corps, sont respectivement $\alpha +x'-x,$ $\beta +y'-y,$ $\gamma +z'-z.$ L’expression de cette distance est donc

${\sqrt {(\alpha +x'-x)^{2}+(\beta +y'-y)^{2}+(\gamma +z'-z)^{2}}}\,;$

ou, en substituant les valeurs précédentes,

${\sqrt {\left(\alpha +{\frac {dx}{da}}\alpha +{\frac {dx}{db}}\beta +{\frac {dx}{dc}}\gamma \right)^{2}+\left(\beta +{\frac {dy}{da}}\alpha +{\frac {dy}{db}}\beta +{\frac {dy}{dc}}\gamma \right)^{2}+\left(\gamma +{\frac {dz}{da}}\alpha +{\frac {dz}{db}}\beta +{\frac {dz}{dc}}\gamma \right)^{2}}}.$

Le changement de figure du corps étant supposé très-petit, les quantités $x,y,z$ et leurs coefficients différentiels partiels sont très-petits, et l’on peut en négliger les puissances et les produits. L’expression précédente prendra donc la forme

${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+2\left[{\frac {dx}{da}}\alpha ^{2}+\left({\frac {dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}\right)\alpha \beta +\left({\frac {dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}\right)\alpha \gamma +{\frac {dy}{db}}\beta ^{2}+\left({\frac {dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}\right)\beta \gamma +{\frac {dz}{dc}}\gamma ^{2}\right]}},$

ou en développant en série, et négligeant toujours les puissances supérieures des coefficients différentiels,

${\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}}\left[{\frac {dx}{da}}\alpha ^{2}+\left({\frac {dx}{db}}+{\frac {dy}{da}}\right)\alpha \beta +\right.$

$\left.\left({\frac {dx}{dc}}+{\frac {dz}{da}}\right)\alpha \gamma +{\frac {dy}{db}}\beta ^{2}+\left({\frac {dy}{dc}}+{\frac {dz}{db}}\right)\beta \gamma +{\frac {dz}{dc}}\gamma ^{2}\right].$

Le premier terme est la valeur primitive de la distance