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par cet élément, et on intégrera par rapport aux trois variables $\rho ,\psi$ et $\varphi \,:$ savoir, par rapport à $\rho$ depuis $\rho =0$ jusqu’à $\rho =\infty \,;$ par rapport à $\psi$ depuis $\psi =-{\frac {1}{2}}\pi$ jusqu’à $\psi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ $\pi$ représentant le rapport de la circonférence au diamètre ; et enfin par rapport à $\varphi$ depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =2\pi .$ On embrassera ainsi toutes les forces parallèles à l’axe des $a$ par lesquelles le point $\mathrm {M}$ est sollicité. Mais on voit facilement qu’en effectuant cette opération, les termes de la quantité précédente qui contiennent une puissance impaire de $\sin .\psi ,$ et ceux qui contiennent une puissance impaire de $\sin .\varphi$ ou de $\cos .\varphi ,$ donneront zéro pour résultat. Ainsi le premier terme multiplié par $\rho$ disparaîtra entièrement. Si le terme multiplié par $\rho ^{3}$ était écrit, on verrait qu’il disparaît aussi, et il en est de même de tous les termes qui contiennent des puissances impaires de $\rho .$ Les termes qui contiennent des puissances paires de cette quantité subsistent seuls dans le résultat de l’intégration ; mais, comme on le verra tout-à-l’heure, on doit se borner à considérer le premier d’entre eux. En ne prenant donc que ce terme, et n’écrivant point les quantités qui deviennent nulles par suite de l’intégration, on aura

$\int _{0}^{\infty }d\rho \int _{-{\frac {1}{2}}\pi }^{{\frac {1}{2}}\pi }d\psi \int _{0}^{2\pi }d\varphi .\rho ^{4}f_{\rho }\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{da^{2}}}\cos .^{5}\psi \cos .^{4}\varphi \\&\qquad +{\frac {d^{2}y}{dadb}}\cos .^{5}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi \\&\qquad \qquad +{\frac {d^{2}z}{dadc}}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{db^{2}}}\cos .^{5}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{dc^{2}}}\sin .^{2}\psi \cos .^{3}\psi \cos .^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}$

pour l’expression de la somme des forces intérieures qui sollicitent le point $\mathrm {M}$ parallèlement à l’axe des $a.$