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L’équilibre du point $\mathrm {M}$ s’exprimera en égalant respectivement à $-\mathrm {X} ,$ à $-\mathrm {Y} ,$ à $-\mathrm {Z} ,$ la somme de toutes les composantes parallèles à l’axe des $a,$ à l’axe des $b,$ à l’axe des $c.$

Considérons en premier lieu les composantes parallèles à l’axe des $a.$ Comme l’on a $a=\rho \cos .\psi \cos .\varphi ,$ $\beta =\rho \cos .\psi \sin .\varphi ,$ $\gamma =\rho \sin .\psi ,$ l’expression de ces composantes, en mettant pour $x'-x,\,y'-y,\,z'-z$ leurs valeurs, deviendra

$f_{\rho }.\left\{{\begin{aligned}\rho &\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {dx}{da}}\cos .^{3}\psi \cos .^{3}\varphi &&+{\frac {dy}{da}}\cos .^{3}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi \\&&&+{\frac {dz}{da}}\sin .\psi \cos .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {dx}{db}}\cos .^{3}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi &&+{\frac {dy}{db}}\cos .^{3}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .\varphi \\&&&+{\frac {dz}{db}}\sin .\psi \cos .^{2}\psi \sin .\varphi \cos .\varphi \\&{\frac {dx}{dc}}\sin .\psi \cos .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi &&+{\frac {dy}{dc}}\sin .\psi \cos .^{2}\psi \sin .\varphi \cos .\varphi \\&&&+{\frac {dz}{dc}}\sin .^{2}\psi \cos .\psi \cos .\varphi \end{alignedat}}\right\}\\+\rho ^{2}&\left\{{\begin{alignedat}{3}&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{da^{2}}}\cos .^{4}\psi \cos .^{4}\varphi &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{da^{2}}}\cos .^{4}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi \\&&&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{da^{2}}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {d^{2}x}{dadb}}\cos .^{4}\psi \sin .\varphi \cos .^{3}\varphi &&+{\frac {d^{2}y}{dadb}}\cos .^{4}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi \\&&&+{\frac {d^{2}z}{dadb}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{db^{2}}}\cos .^{4}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .^{2}\varphi &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{db^{2}}}\cos .^{4}\psi \sin .^{3}\varphi \cos .\varphi \\&&&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{db^{2}}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .\varphi \\&{\frac {d^{2}x}{dadc}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \cos .^{3}\varphi &&+{\frac {d^{2}y}{dadc}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi \\&&&+{\frac {d^{2}z}{dadc}}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi \\&{\frac {d^{2}x}{dbdc}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \sin .\varphi \cos .^{2}\varphi &&+{\frac {d^{2}y}{dbdc}}\sin .\psi \cos .^{3}\psi \sin .^{2}\varphi \cos .\varphi \\&&&+{\frac {d^{2}z}{dbdc}}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \sin .\varphi \cos .\varphi \\&{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x}{dc^{2}}}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \cos .^{2}\varphi &&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dc^{2}}}\sin .^{2}\psi \cos .^{2}\psi \sin .\varphi \cos .\varphi \\&&&+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}z}{dc^{2}}}\sin .^{3}\psi \cos .\psi \cos .\varphi \end{alignedat}}\right\}\\+&{\text{etc}}.\end{aligned}}\right\}$

Pour prendre la somme de toutes ces composantes, il faut, conformément aux principes du calcul intégral, remarquer que l’élément de volume de l’espace qui environne le point $\mathrm {M} ,$ en employant les coordonnées $\rho ,\varphi$ et $\psi ,$ est exprimé par $d\rho d\psi d\varphi .\rho ^{2}\cos .\psi .$ On multipliera donc la quantité précédente