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$\Omega ={\frac {3m^{2}(1+\omega )\sin .^{2}\lambda }{16n^{2}\mathrm {C} ^{2}}}\mathrm {(A+B)(C-A)(C-B)} \left(f^{2}+f'^{2}\right).$

Par conséquent, les équations (9) deviendront

$df=-\Lambda mfdt,\qquad df'=\Lambda mfdt,$

en faisant pour abréger,

${\frac {3m}{8n}}\mathrm {\frac {(A+B)(C-A)(C-B)}{ABC}} (1+\omega )\sin .^{2}\lambda =\Lambda \,;$

et si nous désignons par $\mathrm {E}$ et $\Gamma$ les deux constantes arbitraires, nous aurons en intégrant :

$f=n\mathrm {E} \cos .(\Lambda mt+\Gamma ),\qquad f'=n\mathrm {E} \sin .(\Lambda mt+\Gamma ).$

D’après les données qu’on $a$ sur les quantités qui entrent dans \Lambda, la période de ces inégalités séculaires de $f$ et $f'$ surpasserait cent millions d’années : si elles étaient sensibles, ce seraient les plus lentes de toutes celles qui existent dans le système planétaire.

(18) Les valeurs correspondantes de $p,q,r,$ données par les équations (4) seront

${\begin{aligned}p&=na\mathrm {E} \cos .(abnt-\Lambda mt-\Gamma ),\\q&=nb\mathrm {E} \sin .(abnt-\Lambda mt-\Gamma ),\\r&=n\left[1-\mathrm {\frac {(2C-A-B)E^{2}}{4C}} +\mathrm {\frac {(B-A)E^{2}}{4C}} \cos .2(abnt-\Lambda mt-\Gamma )\right].\end{aligned}}$

À cause que $abn$ est un peu plus grand que $m,$ la période des valeurs de $p$ et $q$ sera d’un peu moins d’une année. En désignant par $\Delta$ la distance angulaire de l’axe de rotation à celui du plus grand moment d’inertie $\mathrm {C} ,$ on aura

$\sin .\Delta ={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}=a\mathrm {E} ,$