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mémoire

rayon vecteur,

$\alpha ={\frac {p(t-h)}{p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f)}},\qquad \beta ={\frac {q(t-f)}{p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f)}}.$

On peut mettre l’équation polaire de l’ellipsoïde sous la forme

$\alpha ^{2}(t-f)+\beta ^{2}(t-h)+t-g=0\,;$

et substituant à la place de $\alpha$ et $\beta$ leurs valeurs, on a

$p^{2}(t-h)^{2}(t-f)+q^{2}(t-f)^{2}(t-h)+(t-g)\left[p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f)\right]^{2}=0,$

ou,

$(t-f)(t-h)\left[p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f)\right]+(t-g)\left[p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f)\right]=0,$

ou enfin, en supprimant le facteur commun $p^{2}(t-h)+q^{2}(t-f),$

$(t-f)(t-h)+p^{2}(t-g)(t-h)+q^{2}(t-f)(t-g)=0\,;$

équation du second degré qui doit donner à la fois les valeurs maximum et minimum de $t,$ c’est-à-dire, les deux valeurs de $t$ qui correspondent à celles des demi-axes de la section elliptique.

On peut diviser cette équation par $p^{2}$ et la mettre sous la forme

$(t-f)(t-h){\frac {1}{p^{2}}}+(t-g)(t-h)+{\frac {q^{2}}{p^{2}}}(t-f)(t-g)=0\,;$

et en substituant pour ${\frac {1}{p^{2}}}$ et ${\frac {q^{2}}{p^{2}}}$ les valeurs que nous avons trouvées plus haut en fonction des angles $m$ et $n,$ on arrive