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mémoire

${\frac {q^{2}}{p^{2}}}={\frac {(f-g)(\cos .n-\cos .m)^{2}}{(g-h)(\cos .n+\cos .m)^{2}}},$

et

${\frac {1}{p^{2}}}=$

${\frac {-(f-h)(g-h)(\cos .n+\cos .m)^{2}-(f-g)(f-h)(\cos .n-\cos .m)^{2}+4(f-g)(g-h)}{(f-h)(g-h)(\cos .n+\cos .m)^{2}}}$

Calculons maintenant les deux diamètres de la section elliptique, qui donnent les vitesses des rayons ordinaire et extraordinaire perpendiculaires au plan de cette section : il suffit pour cela de former l’équation polaire de l’ellipsoïde, et de chercher les valeurs maximum et minimum du rayon vecteur dans ce plan. Soient $x=\alpha y$ et $z=\beta y$ les équations générales du rayon vecteur ; le carré de sa longueur sera égal à $x^{2}+y^{2}+z^{2},$ ou à $y^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right),$ $y$ répondant au point d’intersection de la droite avec la surface de l’ellipsoïde. Les équations de la droite et de la surface ayant lieu en même temps pour ce point, on a $y^{2}\left(f\alpha ^{2}+h\beta ^{2}+g\right)=1\,;$ d’où l’on tire, $y^{2}={\frac {1}{f\alpha ^{2}+h\beta ^{2}+g}},$ et par conséquent le carré du rayon vecteur est égal à $y^{2}={\frac {1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{f\alpha ^{2}+h\beta ^{2}+g}},$ expression que nous égalerons à ${\frac {1}{t}},$ afin que la variable $t$ représente l’unité divisée par le carré du rayon vecteur : nous obtenons ainsi l’équation polaire de l’ellipsoïde

$f\alpha ^{2}+h\beta ^{2}+g=t\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right),$

dont Petit $a$ fait une application si élégante à la discussion générale des surfaces du second degré.

Pour exprimer que le rayon vecteur particulier que nous considérons est contenu dans le plan $y=px+qz,$ il faut écrire $1=p\alpha +q\beta ,$ équation qui étant différentiée par rap-