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mémoire

soïde perpendiculairement au plan sécant sont,

$x=-pz,\quad {\text{et}}\quad y=-qz\,;$

d’où l’on tire,

$p={\frac {-x}{z}},\quad {\text{et}}\quad q={\frac {-y}{z}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on a :

$a^{2}x^{2}\left(b^{2}-r^{2}\right)\left(c^{2}-r^{2}\right)+b^{2}y^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(c^{2}-r^{2}\right)+$

$c^{2}z^{2}\left(a^{2}-r^{2}\right)\left(b^{2}-^{2}\right)=0\,;$

ou, en effectuant les multiplications,

$\left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}\right)r^{4}-\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)x^{2}+b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)y^{2}+\right.$

$\left.c^{2}(a^{2}+b^{2})z^{2}\right]r^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=0.$

Enfin, observant que $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ et supprimant le facteur commun $x^{2}+y^{2}+z^{2},$ on arrive à l’équation $(\mathrm {D} ),$

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}\right)-a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)x^{2}-b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)y^{2}-$

$c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)z^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}=0.$

Si l’on veut rapporter la surface de l’onde à des coordonnées polaires, il faut mettre $r^{2}$ à la place de $x^{2}+y^{2}+r^{2}$ et substituer à $x^{2},y^{2},z^{2},$ leurs valeurs $r^{2}\cos .^{2}\mathrm {X} ,r^{2}\cos .^{2}\mathrm {Y} ,r^{2}\cos .^{2}\mathrm {Z} ,$ ce qui donne l’équation suivante,

$\left(a^{2}\cos .^{2}\mathrm {X} +b^{2}\cos .^{2}\mathrm {Y} +c^{2}\cos .^{2}\mathrm {Z} \right)r^{4}-\left[a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)\cos .^{2}\mathrm {X} +\right.$

$\left.b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)\cos .^{2}Y+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)\cos .^{2}Z\right]r^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}=0,$

à l’aide de laquelle on peut calculer la longueur du rayon vecteur de l’onde, c’est-à-dire, sa vitesse de propagation comptée suivant la direction même du rayon lumineux,