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sur la double réfraction.

d’élasticité compris dans le plan diamétral $z=mx+ny.$

L’équation de la surface d’élasticité rapportée aux trois axes rectangulaires d’élasticité est,

$v^{2}=a^{2}\cos .^{2}\mathrm {X} +b^{2}\cos .^{2}\mathrm {Y} +c^{2}\cos .^{2}\mathrm {Z} .$

Soient $x=\alpha z$ et $y=\beta z$ les équations d’une droite qui passe par son centre, c’est-à-dire d’un rayon vecteur ; on a, entre $\alpha ,\beta$ et $\mathrm {X,Y,Z} ,$ les relations suivantes :

$\cos .^{2}\mathrm {X} ={\frac {\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\ \ \cos .^{2}\mathrm {Y} ={\frac {\beta ^{2}}{1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\ \ \cos .^{2}\mathrm {Z} ={\frac {1}{1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}\,;$

substituant ces valeurs de $\cos .^{2}\mathrm {X} ,\cos .^{2}\mathrm {Y} ,\cos .^{2}\mathrm {Z} ,$ dans l’équation ci-dessus, elle devient,

$v^{2}\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)=a^{2}\alpha ^{2}+b^{2}\beta ^{2}+c^{2}.$

C’est encore l’équation polaire de la surface d’élasticité, mais dans laquelle on a remplacé les cosinus des angles $\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ que le rayon vecteur fait avec les axes, par les tangentes $\alpha$ et $\beta$ des deux angles que ses projections sur les plans coordonnés $xz$ et $yz$ font avec l’axe des $z.$

Quand le rayon vecteur $v$ atteint son maximum ou son minimum, $dv=0\,;$ ainsi, en différentiant la dernière équation polaire de la surface d’élasticité, on $a$ pour équation de condition :

$v^{2}\left(\alpha +\beta .{\frac {d\beta }{d\alpha }}\right)=a^{2}\alpha +b^{2}\beta .{\frac {d\beta }{d\alpha }}.$

Le rayon vecteur dont les équations sont $x=\alpha z$ et $y=\beta z$ devant être compris dans le plan sécant $z=mx+ny,$ on doit avoir,

$1=m\alpha +n\beta \,;$

équation qui donne par la différentiation,