Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 7.djvu/249

${\begin{aligned}a&=\mathrm {\frac {S}{B_{_{'}}+S}} (\mathrm {D} -x'_{_{'}})\\a&=\mathrm {\frac {S}{B_{_{''}}+S}} (\mathrm {D} -x'_{_{''}})-{\frac {\mathrm {B} _{_{'}}a}{\mathrm {(B_{_{''}}+S)} }}\\a&=\mathrm {\frac {S}{B_{_{'''}}+S}} (\mathrm {D} -x'_{_{'''}})-{\frac {(\mathrm {B} _{_{'}}+\mathrm {B} _{_{''}})a}{\mathrm {(B_{_{'''}}+S)} }}\\a&=\mathrm {\frac {S}{B_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+S}} (\mathrm {D} -x'_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}})-{\frac {\mathrm {\left(B_{_{'}}+B_{_{''}}+B_{_{'''}}\right)} a}{\mathrm {(B_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}+S)} }}\,;\end{aligned}}$

et généralement :

$a={\frac {\mathrm {S} }{\mathrm {B} _{(n)}+\mathrm {S} }}(\mathrm {D} -x'_{(n)})-a{\frac {\left(\mathrm {B_{_{'}}+B_{_{''}}+B_{_{'''}}+B_{_{^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}} +\ldots +\mathrm {B} _{(n-1)}\right)}{(\mathrm {B} _{(n)}+\mathrm {S} )}}.$

Or la position du bief $\mathrm {B} _{(n)}$ par rapport au point culminant du canal, ou, ce qui revient au même, la somme de tous les biefs $\mathrm {B_{_{'}}+B_{_{''}}+B_{_{'''}}} +\ldots \mathrm {B} _{(n-1)}$ qui le précèdent étant connue, et représentée par $(\mathrm {B} ),$ on a :

$a={\frac {\mathrm {S} }{\mathrm {B} _{(n)}+\mathrm {S} }}(\mathrm {D} -x_{(n)})-{\frac {a\mathrm {(B)} }{(\mathrm {B} _{(n)}+\mathrm {S} )}},$

ou bien, en faisant pour abréger, $\mathrm {B} _{(n)}+\mathrm {S} =y,$ $\mathrm {D} -x_{(n)}=z,$

$a\left[(\mathrm {B} )+y\right]-\mathrm {S} z=0\,;$

équation à la ligne droite facile à construire, et qui exprime le rapport entre l’étendue d’un bief quelconque et la chute de l’écluse qui le termine, pour que ce bief et chacun de ceux qui le précèdent acquièrent un exhaussement constant à chaque passage de bateau, quel que soit le nombre de ces passages.

Car, après le passage d’un premier bateau, les chutes des