leurs de
tirées de l’équation (17). Ajoutons que la démonstration donnée ci-dessus de la convergence de la série (1) suppose évidemment 1o que l’équation (2) peut être remplacée par l’équation (8), ce qui a effectivement lieu quand la fonction
conserve une valeur finie pour toutes les valeur finies réelles ou imaginaires de
2o que l’expression (11) ne devient pas indéterminée pour des valeurs infinies de
ce qui arriverait, par exemple, si l’on prenait
Si ces conditions n’étaient pas remplies, la série (1) pourrait devenir divergente. C’est, en particulier, ce qui aurait lieu, si l’on prenait
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(a-2x)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7a7f1985442e02d7c63320f088c745653e66b8)
puisque alors le temps général de la série (1), ou l’intégrale
![{\displaystyle 2\int _{0}^{a}\cos .{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\frac {d\mu }{(a-2\mu )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45878f28dd9c10e91c33eda5f5039c4d9a598198)
aurait une valeur infinie.
Observons encore que, si l’on veut obtenir sous forme finie le reste de la série comprise dans l’équation (2), il suffira de remplacer, dans la formule (10), les produits
![{\displaystyle e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu },\qquad e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce20f98810ddf1d5c9b4b8b97123e4e5c6cb80e)
par les fractions
![{\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}{1-e^{-{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}},\qquad {\frac {e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}{1-e^{{\frac {2n\pi x}{a}}{\sqrt {-1}}}e^{-{\frac {2n\pi }{a}}\nu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ded4ff85e6ffb6f7b46b0323110b991198f9165)