voudra, et que l’on fait infiniment petite pour passer aux intégrales précédentes. La première peut encore être considérée comme la limite de l’une ou l’autre de celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-g^{2}x^{2}}\cos .ax\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2g}}e^{-{\frac {a^{2}}{4g}}},\\&\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .ax}{1+g^{2}x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2g}}e^{-{\frac {a}{g}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a86a685512d7a86e7a14cc382e4c1ad4f5866f)
qui s’accordent aussi à donner zéro pour valeur de cette intégrale, à la limite où l’on suppose la quantité
infiniment petite, en exceptant toujours le cas où l’on aurait ![{\displaystyle a=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6adb639dec639e79645601d9b80ac8173567b4cc)
À cause de cette exception, si les intégrales que nous citons pour exemples, sont comprises sous d’autres signes
relatifs à
il faudra avoir soin de les remplacer par celles dont elles sont les limites. Ainsi, en désignant par
et
deux fonctions données de
si l’on a
![{\displaystyle \int \operatorname {F} a\left(\int _{0}^{\infty }\cos .ax\,dx\right)da,\qquad \int \operatorname {F} 'a\left(\int _{0}^{\infty }\sin .ax\,dx\right)da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806e363b05c3495395d24b8e811814d34ab7565f)
il faudra prendre
![{\displaystyle \int {\frac {g\operatorname {F} a\,da}{g^{2}+a^{2}}},\qquad \int {\frac {a\operatorname {F} 'a\,da}{g^{2}+a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508b816101486c4856156fb84a718c4642bfe082)
et ne faire la constante
infiniment petite qu’après avoir effectué les intégrations relatives à
lorsque leurs limites comprendront
Soit, par exemple,
![{\displaystyle \operatorname {F} a=\cos .a,\qquad \operatorname {F} 'a=\sin .a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b4e4794fd8cbfe44aadd23812b5cd753d27453)