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Le coëfficient différentiel de $fx,$ d’un ordre quelconque, se composera de termes dont les diviseurs seront les puissances impaires de $fx,$ et qui ne renfermeront que des puissances entières de $\sin .2x$ et $\cos .2x$ à leurs numérateurs ; on substituera facilement à chaque numérateur, une plus grande quantité abstraction faite du signe ; prenant en outre, pour $fx$ sa moindre valeur ${\sqrt {1-h^{2}}},$ on formera ainsi une quantité supérieure au coëfficient différentiel ${\frac {d^{2m}fx}{dx^{2m}}}$ qui entre dans la formule (7). Soit $\mathrm {H}$ cette quantité ; en mettant aussi dans cette formule, ${\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m}\mathrm {A} _{m}$ à la place de la série qu’elle renferme, et pour $\omega$ sa valeur ${\frac {\pi }{2n}},$ nous en conclurons

$\mathrm {R} _{m}<{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)^{2m}\mathrm {H\,A} _{m},$

en grandeur absolue.

Appelons $\mathrm {I}$ le rayon du cercle dont la circonférence est équivalente à celle de l’ellipse que nous considérons, de sorte qu’on ait $\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\pi \mathrm {I} .$ D’après la formule d’Euler, nous aurons cette valeur approchée :

$\mathrm {I} ={\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{2}}f0+f{\frac {\pi }{2n}}+f{\frac {2\pi }{2n}}+f{\frac {3\pi }{2n}}+\ldots ++f{\frac {(n-1)\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}f{\frac {\pi }{2}}\right)\,;$

et si l’on désigne par $\delta \mathrm {I} ,$ l’erreur dont elle susceptible, on aura en même temps

$\delta \mathrm {I} <\left({\frac {\pi }{2n}}\right)^{2m}\mathrm {H\,A} _{m}.$

En supposant $k=0{,}6,$ et s’arrêtant à $m=3,$ on trouve qu’on peut prendre pour $\mathrm {H} ,$ le nombre $40\,;$ et si l’on substitue, en outre, pour $\pi$ et $\mathrm {A} _{5}$ leurs valeurs numériques, il