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quelle on augmentera $m$ d’une unité, on en conclura

$\mathrm {R} _{m+1}=\mathrm {R} _{m}\,;$

c’est-à-dire, que le reste $\mathrm {R} _{m}$ est constant par rapport au nombre $m.$

Dans ce cas singulier, si ${\frac {\omega }{2\pi }}$ est une fraction, le facteur $\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)^{2m}$ que ce reste renferme, diminue indéfiniment à mesure que $m$ augmente ; mais en même temps l’autre facteur augmente à raison des différentiations successives de $fx,$ de telle sorte que le produit demeure constant. Cependant, il n’en sera pas de même à l’égard de la limite supérieure à $\mathrm {R} _{m}$ que l’on pourra assigner ; elle dépendra de $m,$ et décroîtra d’autant plus rapidement avec que ce nombre $m.$ sera plus grand.

(9) Nous choisirons pour exemple de cette anomalie, l’intégrale qui donne le quart de la circonférence d’une ellipse, que nous appellerons $\mathrm {E} .$ En prenant pour unité le demigrand axe, et désignant l’excentricité par $h,$ nous aurons alors

$\mathrm {E} =\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }{\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}x}}\,dx\,;$

on fera donc, dans l’équation (6),

$e={\frac {1}{2}}\pi ,\qquad fx={\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}x}}\,;$

et il est évident que toutes les différentielles impaires de $fx$ seront nulles aux deux limites $x=0$ et $x={\frac {1}{2}}\pi ,$ à cause du facteur $\sin .x\cos .x$ dont elles seront affectées.