Pour obtenir des limites de ces expressions, désignons par
et
des quantités connues, telles que l’on ait, abstraction faite du signe,
![{\displaystyle {\frac {d^{2m}fx}{dx^{2m}}}<\mathrm {B} _{m},\qquad {\frac {d^{2m+1}fx}{dx^{2m+1}}}<\mathrm {C} _{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c0ede9cb94ed64ed85d57bd6fdaf05610fa682)
pour toutes les valeurs de
comprises depuis zéro jusqu’à
soit, en outre,
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2m+1}}}+{\frac {1}{3^{2m+1}}}+{\frac {1}{4^{2m+1}}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71136e68580f27ca72edb1862a5b0804d6b1de66)
en observant qu’on a évidemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m}}}\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}<{\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m}\mathrm {A} _{m},\\&\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m+1}}}\sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}<{\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e00e55440b2a5068ec2f0b4a38a9b565f23d68e)
on en conclura, en grandeur absolue,
![{\displaystyle \mathrm {R} _{m}<c\,\omega ^{2m}\mathrm {A} _{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f459001e1af0dd7801f75c23d35e2a5cd11601)
d’après la formule (7), et
![{\displaystyle \mathrm {R} _{m}<c\,\omega ^{2m+1}\mathrm {A} '_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bb9e80423c3d41356eb08f3c136520f30f3281)
d’après la formule (8).
Ces limites montrent que pour une même valeur de
ou pour un même nombre de termes de la série (6), l’approximation croîtra indéfiniment à mesure que
diminuera ; mais quel que soit
l’approximation ne croîtra pas de même