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Pour obtenir des limites de ces expressions, désignons par $\mathrm {B} _{m}$ et $\mathrm {C} _{m}$ des quantités connues, telles que l’on ait, abstraction faite du signe,

${\frac {d^{2m}fx}{dx^{2m}}}<\mathrm {B} _{m},\qquad {\frac {d^{2m+1}fx}{dx^{2m+1}}}<\mathrm {C} _{m},$

pour toutes les valeurs de $x$ comprises depuis zéro jusqu’à $c\,;$ soit, en outre,

$1+{\frac {1}{2^{2m+1}}}+{\frac {1}{3^{2m+1}}}+{\frac {1}{4^{2m+1}}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m}\,;$

en observant qu’on a évidemment

${\begin{aligned}&\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m}}}\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}<{\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m}\mathrm {A} _{m},\\&\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2m+1}}}\sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}<{\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m+1}\mathrm {A} '_{m},\end{aligned}}$

on en conclura, en grandeur absolue,

$\mathrm {R} _{m}<c\,\omega ^{2m}\mathrm {A} _{m},$

d’après la formule (7), et

$\mathrm {R} _{m}<c\,\omega ^{2m+1}\mathrm {A} '_{m},$

d’après la formule (8).

Ces limites montrent que pour une même valeur de $m,$ ou pour un même nombre de termes de la série (6), l’approximation croîtra indéfiniment à mesure que $\omega$ diminuera ; mais quel que soit $\omega ,$ l’approximation ne croîtra pas de même