etc., seront les valeurs de ces quantités ; ce qui était déja connu.
En supposant toujours
et prenant
![{\displaystyle fx=x^{2m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477835dc4bc3065ef051f22da43645091c6888d5)
on aura,
étant un nombre entier,
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}fx\,dx={\frac {2a^{2m+1}}{2m+1}},\qquad \mathrm {P} _{n}=a^{2m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d4c30ef44ee153effbce7894029545a4b119d0)
d’après l’équation (4), le reste
sera nul ; et en supprimant le facteur
qui se trouvera commun à tous les termes de l’équation (5), il vient
![{\displaystyle {\frac {2m-1}{2(2m+1)}}=2m\mathrm {A} _{1}-2m.2m-1.2m-2.\mathrm {A} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3de505b688a7a558389824e00ca4d09a4b161e8)
![{\displaystyle \ldots \pm 2m.2m-1.2m-2\ldots 3.2.\mathrm {A} _{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc65de399f6813e4702102132fbb71fc4459d2b)
Cette relation connue entre les quantités
etc., servira à les déterminer les unes au moyen des autres, en y faisant successivement
etc. On trouve, de cette manière,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}={\frac {1}{12}},\qquad \mathrm {A} _{2}={\frac {1}{720}},\qquad \mathrm {A} _{3}={\frac {1}{30240}},\quad {\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0464ed24fcd361a930a2be3fc520f8ee7a93b7f)
(6) Si l’on veut que l’intégrale proposée commence avec la variable, et soit prise depuis zéro jusqu’à une limite donnée
on diminuera
de
et l’on fera
Mettons ensuite
à la place de
et
au lieu de
la différence
sera la
ième partie de
la quantité
se composera de
termes, savoir :
![{\displaystyle \mathrm {P} _{n}={\frac {1}{2}}f0+f\omega +f2\omega +\ldots +f(n\omega -\omega )+{\frac {1}{2}}fc\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a5b221d2f53d7f70001f1a823ce22a0d9b0695)