(5) Les valeurs des coefficients
etc., sont connues, comme nous l’avons dit ; mais on peut aussi les déterminer au moyen de l’équation (5), en faisant une supposition sur le nombre
et sur la fonction
Le plus simple est de prendre
On a alors
![{\displaystyle \omega =a,\qquad \mathrm {P} _{n}={\frac {1}{2}}f(-a)+f0+{\frac {1}{2}}fa.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f2b83a8d13c3db6bbcc8574bd6cb2401702ee0)
Si l’on désigne par
la base des logarithmes népériens, et qu’on fasse
![{\displaystyle fx=e^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22117523eff1fb251b0d1e477494c10eb8c2d24)
on aura
![{\displaystyle \int _{-a}^{a}fx\,dx=e^{a}-e^{-a},\qquad \mathrm {P} _{n}={\frac {1}{2}}\left(e^{{\frac {1}{2}}a}+e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68feda56fbb9d5d5b1c2c721f37c52d5bd66411)
et généralement
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right]-\left({\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right)=e^{a}-e^{-a}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5802a577afa69c1c70efcbf60ab69175c33243f8)
au moyen de quoi, en divisant les deux membres de l’équation (5) par
on en conclura
![{\displaystyle {\frac {a\left(e^{{\frac {1}{2}}a}+e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)}{2\left(e^{{\frac {1}{2}}a}-e^{-{\frac {1}{2}}a}\right)}}=1+a^{2}\mathrm {A} _{1}-a^{4}\mathrm {A} _{2}+a^{6}\mathrm {A} _{3}-{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72948167fc483ee0e92863b3d168ec87b387a5a2)
Or, le premier membre ne changeant pas quand on y change le signe de
son développement ne renfermera que des puissances paires de
d’ailleurs, les inconnues
etc., sont indépendantes de
il en résulte donc qu’après avoir développé le premier membre, les coefficients de