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Ainsi la correction qu’on doit faire subir à la première valeur approchée de notre intégrale, se trouve exprimée par une autre intégrale définie ; mais, par le procédé de l’intégration par partie, celle-ci se réduit en une série ordonnée suivant les puissances de $\omega ,$ dont il suffira généralement de considérer les premiers termes.

(4) Soit, pour cela,

$1+{\frac {1}{2^{2m}}}+{\frac {1}{3^{2m}}}+{\frac {1}{4^{2m}}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m}\mathrm {A} _{m}\,;$

la série se prolongeant à l’infini, $m$ étant un nombre entier, et $\mathrm {A} _{m}$ un coëfficient dont la valeur exacte est connue pour toutes les valeurs de $m.$ En intégrant $2m-1$ fois de suite par partie, et observant qu’aux limites $\pm a,$ ou $\pm n\omega ,$ on a

$\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}=1,\qquad \sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}=0,$

nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {Q} _{n}=i&-\omega ^{2}\left(\left[{\frac {dfx}{dx}}\right]-\left({\frac {dfx}{dx}}\right)\right)\mathrm {A} _{1}\\&+\omega ^{4}\left(\left[{\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right]-\left({\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right)\right)\mathrm {A} _{2}\\&-\omega ^{6}\left(\left[{\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right]-\left({\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right)\right)\mathrm {A} _{3}\\\end{aligned}}$

..................

$+(-1)^{m}\omega ^{2m}\left(\left[{\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right]-\left({\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right)\right)\mathrm {A} _{m}+\mathrm {R} _{m}\,:$

les différentielles comprises entre les parenthèses se rapportent à la première limite $x=-a,$ celles qui sont renfermées entre des crochets répondent à la seconde $x=a,$ et