Ainsi la correction qu’on doit faire subir à la première valeur approchée de notre intégrale, se trouve exprimée par une autre intégrale définie ; mais, par le procédé de l’intégration par partie, celle-ci se réduit en une série ordonnée suivant les puissances de
dont il suffira généralement de considérer les premiers termes.
(4) Soit, pour cela,
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2m}}}+{\frac {1}{3^{2m}}}+{\frac {1}{4^{2m}}}+{\text{etc}}.={\frac {1}{2}}(2\pi )^{2m}\mathrm {A} _{m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644e1bf565e17d03abb888dd0a96dc33f6eb7316)
la série se prolongeant à l’infini,
étant un nombre entier, et
un coëfficient dont la valeur exacte est connue pour toutes les valeurs de
En intégrant
fois de suite par partie, et observant qu’aux limites
ou
on a
![{\displaystyle \cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}=1,\qquad \sin .{\frac {2i\pi x}{\omega }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f97f4bc1dcfebb776c3fbc5c0624d936f5e6ab9)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} _{n}=i&-\omega ^{2}\left(\left[{\frac {dfx}{dx}}\right]-\left({\frac {dfx}{dx}}\right)\right)\mathrm {A} _{1}\\&+\omega ^{4}\left(\left[{\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right]-\left({\frac {d^{3}fx}{dx^{3}}}\right)\right)\mathrm {A} _{2}\\&-\omega ^{6}\left(\left[{\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right]-\left({\frac {d^{5}fx}{dx^{5}}}\right)\right)\mathrm {A} _{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fccda2434edf3fc766845b481eba35294bb62a1)
..................
![{\displaystyle +(-1)^{m}\omega ^{2m}\left(\left[{\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right]-\left({\frac {d^{2m-1}fx}{dx^{2m-1}}}\right)\right)\mathrm {A} _{m}+\mathrm {R} _{m}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847e71d9aa0acf450646e5ed2a8ffba145c16ec0)
les différentielles comprises entre les parenthèses se rapportent à la première limite
celles qui sont renfermées entre des crochets répondent à la seconde
et