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que cette dernière valeur de $p.$ ait lieu sans exception ; ensuite, je fais $i=2i'n,$ et je prends une seconde somme $\sum _{1}^{\infty }$ relative à $i',$ en supposant que $2n-1+\cos .2i'n\pi ,$ ou $2n,$ soit la valeur de $p\,:$ la série périodique, contenue sous le signe intégral, se composera évidemment de ces deux séries ainsi calculées ; et en faisant attention qu’on a

$\cos .i\pi \cos .{\frac {i\pi x'}{n\omega }}=\cos .{\frac {i\pi (a-x')}{a}},$

on en conclura

$\sum _{1}^{\infty }p\cos .{\frac {i\pi x'}{n\omega }}=-\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {i\pi (a-x')}{a}}+2n\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {2i'\pi x'}{\omega }}.$

De cette manière, la valeur précédente de $\omega \mathrm {P} _{n}$ deviendra

$\omega \mathrm {P} _{n}={\frac {\omega }{2}}\left[fa+f(-a)\right]+\left(1-{\frac {\omega }{a}}\right)\int _{-a}^{a}fx'dx'$

$-{\frac {\omega }{a}}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {i\pi (a-x')}{a}}\right]fx'dx'+2\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {2i'\pi x'}{\omega }}\right]fx'dx'.$

En ayant égard à l’équation (3), celle-ci se réduit à

$\omega \mathrm {P} _{n}=\int _{-a}^{a}fx'dx'+2\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {2i'\pi x'}{\omega }}\right]fx'dx'\,;$

et si l’on y remplace $x'$ et $i'$ par $x$ et $i,$ et qu’on la compare à l’équation (1), il en résultera

$\mathrm {Q} _{n}=-2\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\cos .{\frac {2i\pi x}{\omega }}\right]fxdx.$