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pour la limite de $\mathrm {X} \,;$ et l’on trouvera le même résultat dans le cas de $x=-a\,;$ ce qui coïncide avec l’équation (3).

(3) Maintenant, pour faire de l’équation (2) l’usage que nous avons en vue, mettons-y $n\omega$ à la place de $a\,;$ puis donnons successivement à $x,$ ces $2n-1$ valeurs équi-différentes :

$-(n-1)\omega ,\quad -(n-2)\omega \ldots -\omega ,\quad 0,\quad +\omega \ldots (n-2)\omega ,\quad (n-1)\omega ,$

pour lesquelles cette équation subsiste. En prenant la somme des résultats, et ajoutant la demi-somme des valeurs de $fx$ relatives à $\pi =\pm a,$ on en conclura

$\omega \mathrm {P} _{n}={\frac {\omega }{2}}\left[fa+f(-a)\right]+{\frac {2n-1}{2n}}\int _{-a}^{a}fx'dx'$

$+{\frac {1}{n}}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{0}^{\infty }p\cos .{\frac {i\pi x'}{n\omega }}\right]fx'dx',$

où l’on a fait, pour abréger,

$p=1+2\cos .{\frac {i\pi }{n}}+2\cos .{\frac {2i\pi }{n}}+2\cos .{\frac {3i\pi }{n}}+\ldots +2\cos .{\frac {(n-1)i\pi }{n}}.$

Cette quantité $p$ est évidemment égale à $2n-1$ toutes les fois que $i$ est un multiple de $2n.$ Si on la multiplie par $\cos .{\frac {i\pi }{n}},$ on trouve, en réduisant,

$p\cos .{\frac {i\pi }{n}}=p+\cos .i\pi -\cos .{\frac {(n-1)i\pi }{n}}\,;$

d’où l’on tire $p=-\cos .i\pi ,$ pour les autres valeurs de $i.$ D’après cela, je prends d’abord la somme $\sum _{1}^{\infty }$ en supposant