pour la limite de
et l’on trouvera le même résultat dans le cas de
ce qui coïncide avec l’équation (3).
(3) Maintenant, pour faire de l’équation (2) l’usage que nous avons en vue, mettons-y
à la place de
puis donnons successivement à
ces
valeurs équi-différentes :
![{\displaystyle -(n-1)\omega ,\quad -(n-2)\omega \ldots -\omega ,\quad 0,\quad +\omega \ldots (n-2)\omega ,\quad (n-1)\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0dbd14e15585ec35dd484cc30c477084a73a6a)
pour lesquelles cette équation subsiste. En prenant la somme des résultats, et ajoutant la demi-somme des valeurs de
relatives à
on en conclura
![{\displaystyle \omega \mathrm {P} _{n}={\frac {\omega }{2}}\left[fa+f(-a)\right]+{\frac {2n-1}{2n}}\int _{-a}^{a}fx'dx'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6429336dcdc9561f4f23e30b9ba10815a6a635)
![{\displaystyle +{\frac {1}{n}}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{0}^{\infty }p\cos .{\frac {i\pi x'}{n\omega }}\right]fx'dx',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3073f585e117007143a908e775c948e818dc88)
où l’on a fait, pour abréger,
![{\displaystyle p=1+2\cos .{\frac {i\pi }{n}}+2\cos .{\frac {2i\pi }{n}}+2\cos .{\frac {3i\pi }{n}}+\ldots +2\cos .{\frac {(n-1)i\pi }{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c4fd62829f34830437f53db0b80d92738120c6)
Cette quantité
est évidemment égale à
toutes les fois que
est un multiple de
Si on la multiplie par
on trouve, en réduisant,
![{\displaystyle p\cos .{\frac {i\pi }{n}}=p+\cos .i\pi -\cos .{\frac {(n-1)i\pi }{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2013198906f4d7c8e040b25b7f9415d457b02547)
d’où l’on tire
pour les autres valeurs de
D’après cela, je prends d’abord la somme
en supposant