Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/764

comme constante et égale à $fx.$ Si donc on fait

$1-\alpha =g,\qquad x'=x+h,\qquad dx'=dh,$

et que l’on traite $g$ et $h$ comme des quantités infiniment petites, on aura pour la limite demandée :

$\mathrm {X} ={\frac {fx}{a}}\int {\frac {g\,dh}{g^{2}+{\frac {\pi ^{2}h^{2}}{a^{2}}}}}.$

Comme cette dernière intégrale est infiniment petite, pour toute valeur finie de la variable, on pourra l’étendre à des valeurs de $h$ aussi grandes que l’on voudra ; en désignant donc par $\delta$ une quantité positive et finie, dont la grandeur est arbitraire, et intégrant depuis $h=-\delta$ jusqu’à $h=+\delta ,$ nous aurons

$\mathrm {X} ={\frac {2fx}{\pi }}\operatorname {arc} .\left(\operatorname {tang} .={\frac {\delta }{g}}\right)\,;$

quantité quí se réduit à $\mathrm {X} =fx,$ à cause de $g$ infiniment petit ; ce qu’il s’agissait de démontrer.

Dans le cas de $x=a,$ on rendra $\cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}$ infiniment peu différent de l’unité, en supposant successivement $x'=a+h$ et $x'=-a+h,$ et traitant toujours $h$ comme une variable infiniment petite ; mais pour que $x'$ ne sorte pas des limites $\pm a,$ il faudra n’intégrer que depuis $h=-\delta$ jusqu’à $h=0$ dans la première hypothèse, et depuis $h=0$ jusqu’à $h=+\delta$ dans la seconde ; ce qui réduira chaque portion d’intégrale à la moitié de la valeur précédente. Alors on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} ={\frac {1}{2}}\left[fa+f(-a)\right],$