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Considérons l’expression

$\mathrm {X} ={\frac {1}{2a}}\int _{-a}^{a}fx'dx'+{\frac {1}{a}}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\alpha ^{i}\cos .{\frac {i\pi (x-x')}{a}}\right]fx'dx'\,;$

le second membre de l’équation (2) sera la valeur de $\mathrm {X}$ qui répond à la limite où la différence $1-\alpha$ infiniment petite ; ainsi il s’agit de faire voir qu’à cette limite on a $\mathrm {X} =fx,$ pour $x>s-a$ et $<a.$

Or, en développant suivant les puissances de $\alpha ,$ on a, en série convergente,

${\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}+\alpha ^{2}}}=1+2\sum _{1}^{\infty }\alpha ^{i}\cos .{\frac {i\pi (x-x')}{a}}\,;$

on aura donc

$\mathrm {X} ={\frac {1}{2a}}\int _{-a}^{a}{\frac {\left(1-\alpha ^{2}\right)fx'dx'}{1-2\alpha \cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}+\alpha ^{2}}}.$

Le coefficient de $dx'$ sous le signe intégral, devient infiniment petit en même temps que, excepté pour les valeurs de $x'$ qui rendent $\cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}$ infiniments peu différent de l’unité, et, par conséquent, le dénominateur aussi infiniment petit. Mais $x$ étant $>-a$ et $<a,$ et la variable $x'$ ne sortant pas non plus de ces limites, cette circonstance ne peut avoir lieu que pour des valeurs de $x'-x,$ infiniment petites, positives ou négatives ; il suffira donc d’étendre l’intégrale aux valeurs de $x'$ infiniment peu différentes de $x\,;$ et dans cette étendue, on pourra considérer la fonction $fx'$