Considérons l’expression
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {1}{2a}}\int _{-a}^{a}fx'dx'+{\frac {1}{a}}\int _{-a}^{a}\left[\sum _{1}^{\infty }\alpha ^{i}\cos .{\frac {i\pi (x-x')}{a}}\right]fx'dx'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbd853a105e0fdd217c4c19c5c759bb495ae0e8)
le second membre de l’équation (2) sera la valeur de
qui répond à la limite où la différence
infiniment petite ; ainsi il s’agit de faire voir qu’à cette limite on a
pour
et ![{\displaystyle <a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828135a3abbc3dcbf989d0ad27f069cef198b482)
Or, en développant suivant les puissances de
on a, en série convergente,
![{\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}+\alpha ^{2}}}=1+2\sum _{1}^{\infty }\alpha ^{i}\cos .{\frac {i\pi (x-x')}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af4b0531d70d08b087323883d05bb42eecf765a)
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {1}{2a}}\int _{-a}^{a}{\frac {\left(1-\alpha ^{2}\right)fx'dx'}{1-2\alpha \cos .{\frac {\pi (x-x')}{a}}+\alpha ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbe2cfd7b52055e8f03721b6aef3dc400b5dc56)
Le coefficient de
sous le signe intégral, devient infiniment petit en même temps que, excepté pour les valeurs de
qui rendent
infiniments peu différent de l’unité, et, par conséquent, le dénominateur aussi infiniment petit. Mais
étant
et
et la variable
ne sortant pas non plus de ces limites, cette circonstance ne peut avoir lieu que pour des valeurs de
infiniment petites, positives ou négatives ; il suffira donc d’étendre l’intégrale aux valeurs de
infiniment peu différentes de
et dans cette étendue, on pourra considérer la fonction ![{\displaystyle fx'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcde5175fc79754fbe2adad024e234bb7a945e58)