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c’est-à-dire, en mettant pour $\mu '^{2}$ sa valeur précédente (n^o 45),

$\varepsilon ={\frac {9\pi bl'c'^{2}p\sin .j}{2{\sqrt {2}}\theta '\sin .a{\sqrt {\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{3}j}}}}\int _{-a}^{a}\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .$

(52) Pour comparer cette diminution d’amplitude, à celle qui a lieu dans le cas des oscillations horizontales, supposons que l’aiguille dont il était question dans le n^o 42, soit la même que celle que nous venons de considérer, ou du moins que les quantités $l,\lambda ,c,\mu ,$ relatives à la première aiguille, soient les mêmes que les quantités $l',\lambda ',c',\mu ',$ latives à la seconde ; supposons aussi l’élévation de l’aiguille horizontale au-dessus de la plaque, égale à la valeur moyenne de $\gamma$ que nous représenterons par $h_{1},$ en sorte que $h_{1}$ soit l’élévation du pôle nord de l’aiguille inclinée dans sa position d’équilibre ; prenons enfin $a$ pour l’angle dont l’aiguille horizontale a été écartée du méridien magnétique, et désignons par $\varepsilon ,$ la diminution d’amplitude de sa première oscillation. D’après le n^o 42, on aura

$\varepsilon _{1}={\frac {\pi {\sqrt {2}}\sin .\delta '}{\theta n'\sin .a}}\int _{-a}^{a}{\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi \,;$

$\theta$ étant toujours la durée d’une petite oscillation de cette dernière aiguillè soumise à l’action de la terre, dont la valeur sera (n^o 35).

$\theta ={\frac {\pi \lambda '}{\sqrt {2m\mu 'l'}}}.$

On devra prendre, pour la valeur approchée du rapport ${\frac {\sin .\delta '}{n'}}$ que l’équation précédente renferme (n^o 40),

${\frac {\sin .\delta '}{n'}}={\frac {9bl'c'^{2}p}{4h_{1}^{4}}}\left(1+{\frac {h_{1}^{5}}{\left(h_{1}^{2}+l'^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\right)\,;$