c’est-à-dire, en mettant pour
sa valeur précédente (no 45),
![{\displaystyle \varepsilon ={\frac {9\pi bl'c'^{2}p\sin .j}{2{\sqrt {2}}\theta '\sin .a{\sqrt {\sin .^{2}j\cos .^{2}\beta +\cos .^{3}j}}}}\int _{-a}^{a}\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1656f7616c01a25c73192bd1921d996fae80357)
(52) Pour comparer cette diminution d’amplitude, à celle qui a lieu dans le cas des oscillations horizontales, supposons que l’aiguille dont il était question dans le no 42, soit la même que celle que nous venons de considérer, ou du moins que les quantités
relatives à la première aiguille, soient les mêmes que les quantités
latives à la seconde ; supposons aussi l’élévation de l’aiguille horizontale au-dessus de la plaque, égale à la valeur moyenne de
que nous représenterons par
en sorte que
soit l’élévation du pôle nord de l’aiguille inclinée dans sa position d’équilibre ; prenons enfin
pour l’angle dont l’aiguille horizontale a été écartée du méridien magnétique, et désignons par
la diminution d’amplitude de sa première oscillation. D’après le no 42, on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {\pi {\sqrt {2}}\sin .\delta '}{\theta n'\sin .a}}\int _{-a}^{a}{\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec113819b5e33064b3e537c92674cd5ffade024)
étant toujours la durée d’une petite oscillation de cette dernière aiguillè soumise à l’action de la terre, dont la valeur sera (no 35).
![{\displaystyle \theta ={\frac {\pi \lambda '}{\sqrt {2m\mu 'l'}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96be3fd487a137d1d832313108ee86abff827ab)
On devra prendre, pour la valeur approchée du rapport
que l’équation précédente renferme (no 40),
![{\displaystyle {\frac {\sin .\delta '}{n'}}={\frac {9bl'c'^{2}p}{4h_{1}^{4}}}\left(1+{\frac {h_{1}^{5}}{\left(h_{1}^{2}+l'^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce87764bd57dc6cb71e8432d1efa612ca55b203)