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en faisant, pour abréger,

$\varphi ={\frac {1}{\gamma ^{4}}}\left[{\frac {1}{2}}\cos .^{2}(i+\xi )+\sin .^{2}(i+\xi )\right],$

et l’intégrale contenue dans le second membré étant prise de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0.$ Si l’on néglige cette intégrale dans une première approximation, on aura d’abord

$dt=-{\frac {\theta 'd\xi }{\pi {\sqrt {2(\cos .\xi -\cos .a)}}}}.$

Je substitue ensuite cette valeur de $dt,$ sous le signe $\int \,;$ il vient

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-{\frac {2\pi ^{2}}{\theta '^{2}}}(\cos .\xi -\cos .a)={\frac {9\pi \mu '^{2}bl'^{2}p}{{\sqrt {2}}\theta '\lambda '^{2}}}\int \varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .$

Soit $\xi =-a+\varepsilon ,$ à la fin de la première oscillation, de sorte que $\varepsilon$ désigne la diminution d’amplitude demandée ; on aura en même temps ${\frac {d\xi }{dt}}=0,$ et par conséquent

$\cos .(a-\varepsilon )-\cos .a=-{\frac {9\mu '^{2}bl'^{2}\theta 'p}{2{\sqrt {2}}\pi \lambda '^{2}}}\int _{a}^{-a+\varepsilon }\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .$

À cause de la petitesse supposée de $\varepsilon ,$ on pourra étendre l’intégrale depuis $\xi =a$ jusqu’à $\xi =-a,$ ou bien en changer le signe et la prendre depuis $\xi =-a$ jusqu’à $\xi =a\,;$ et si l’on néglige, en outre, le carré de $\varepsilon$ dans le premier membre de cette équation, on en conclura

$\varepsilon ={\frac {9\mu '^{2}bl'^{2}\theta 'p}{2{\sqrt {2}}\pi \lambda '^{2}\sin .a}}\int _{-a}^{a}\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi \,;$