en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\gamma ^{4}}}\left[{\frac {1}{2}}\cos .^{2}(i+\xi )+\sin .^{2}(i+\xi )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77328dc5eaa093a609786b5705eef9e47958c2ee)
et l’intégrale contenue dans le second membré étant prise de manière qu’elle s’évanouisse quand
Si l’on néglige cette intégrale dans une première approximation, on aura d’abord
![{\displaystyle dt=-{\frac {\theta 'd\xi }{\pi {\sqrt {2(\cos .\xi -\cos .a)}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571abdd0d00f29803642cd3e486ff0f388d38773)
Je substitue ensuite cette valeur de
sous le signe
il vient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-{\frac {2\pi ^{2}}{\theta '^{2}}}(\cos .\xi -\cos .a)={\frac {9\pi \mu '^{2}bl'^{2}p}{{\sqrt {2}}\theta '\lambda '^{2}}}\int \varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53894c95176dca8d45d1cb517c8160af7d8723a3)
Soit
à la fin de la première oscillation, de sorte que
désigne la diminution d’amplitude demandée ; on aura en même temps
et par conséquent
![{\displaystyle \cos .(a-\varepsilon )-\cos .a=-{\frac {9\mu '^{2}bl'^{2}\theta 'p}{2{\sqrt {2}}\pi \lambda '^{2}}}\int _{a}^{-a+\varepsilon }\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463572698614b75de45758341bfe7dbc02cccddc)
À cause de la petitesse supposée de
on pourra étendre l’intégrale depuis
jusqu’à
ou bien en changer le signe et la prendre depuis
jusqu’à
et si l’on néglige, en outre, le carré de
dans le premier membre de cette équation, on en conclura
![{\displaystyle \varepsilon ={\frac {9\mu '^{2}bl'^{2}\theta 'p}{2{\sqrt {2}}\pi \lambda '^{2}\sin .a}}\int _{-a}^{a}\varphi {\sqrt {\cos .\xi -\cos .a}}\,d\xi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d67a4cbe209a098be6d75233107c916d33091c1)