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vent s’obtenir sous forme finie par les règles ordinaires. En effet, on a

$\int _{0}^{\infty }{\frac {rdr}{\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}-2\alpha r\cos .v\right)^{2}}}={\frac {1}{2\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v\right)}}$

$+{\frac {\alpha \cos .v}{2\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v\right)^{\frac {3}{2}}}}\operatorname {arc} \left(\operatorname {tang} .={\frac {\alpha \cos .v}{\sqrt {\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v}}}\right)\,;$

en intégrant par partie, il vient

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\alpha \cos .v\,dv}{\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v\right)^{\frac {3}{2}}}}\operatorname {arc} \left(\operatorname {tang} .={\frac {\alpha \cos .v}{\sqrt {\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v}}}\right)=$

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\alpha ^{2}\sin .^{2}v\,dv}{\gamma ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}.v\right)}}\,;$

on aura donc

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {r\,dr\,dv}{\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}2\alpha \cos .v\right)^{2}}}={\frac {\pi }{\gamma ^{2}}}\,;$

d’où l’on conclut, en différentiant, successivement par rapport à $\gamma$ et $\alpha ,$ et ayant égard à la notation du n^o 25 :

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f^{6}(\gamma ,r,\alpha ,\cos .v')r\,dr\,dv={\frac {\pi }{2\gamma ^{4}}},\\&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f^{6}(\gamma ,r,\alpha ,\cos .v)(\alpha -r\cos .v)r\,dr\,dv=0.\end{aligned}}$

Or, au moyen de ces résultats, et d’après les valeurs de $\alpha$ et $\gamma$ en fonctions de $\eta ,$ les équations (v) et (x) deviendront

${\frac {d\mathrm {Q} }{d\gamma }}=-{\frac {3\mu '^{2}p}{16}}{\frac {d.}{dt}}\left({\frac {1}{(\gamma -b)^{2}}}-{\frac {1}{(\gamma +b)^{2}}}\right)={\frac {9\mu '^{2}bl'}{4\gamma ^{4}}}p{\frac {d\eta }{dt}}\sin .\eta ,$

${\frac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}=-{\frac {3\mu '^{2}p}{16}}{\frac {d.}{dt}}\left({\frac {\alpha '-\alpha }{(\gamma -b)^{3}}}-{\frac {\alpha '-\alpha }{(\gamma +b)^{3}}}\right)=-{\frac {9\mu '^{2}bl'}{8\gamma ^{4}}}p{\frac {d\eta }{dt}}\cos .\eta ,$