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$\varphi _{1}(k,k)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k\alpha \sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')dy\,dy'}{\left[{\begin{aligned}\left(k^{2}+\alpha ^{2}+y^{2}+y'^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')+y^{2}+y'^{2}\right)\\-4y^{2}\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\end{aligned}}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;$

intégrale dont la valeur s’obtiendra sous forme finie, comme celle de $\varphi _{1}(k,k)$ du n^o 38, et sera

$\varphi _{1}(k,k)={\frac {\pi \alpha \sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')}{2\left(k^{2}+\alpha ^{2}\sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Il n’en sera plus de même lorsque les quantités $k$ et $k'$ seront différentes ; mais si l’on désigne par $\mathrm {D'}$ ce que devient $\mathrm {D}$ quand on y change le signe de $y,$ on aura

${\begin{aligned}\varphi _{1}(k,k')=&-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }k\left(y-\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '){\frac {dy\,dy'}{\mathrm {D} }}\\&+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }k\left(y+\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '){\frac {dy\,dy'}{\mathrm {D} '}}\,;\end{aligned}}$

et en même temps

${\begin{aligned}\varphi _{1}(k',k)=&-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }k'\left(y-\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '){\frac {dy\,dy'}{\mathrm {D} '}}\\&+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }k'\left(y+\alpha \sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\right)\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega '){\frac {dy\,dy'}{\mathrm {D} }}\,;\end{aligned}}$

d’où il résultera

${\begin{aligned}\varphi _{1}(k,k')-\varphi _{1}(k',k)=&-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(k+k')y\sin .{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\mathrm {\left({\frac {1}{D}}-{\frac {1}{D'}}\right)} dy\,dy'\\&+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(k-k')\alpha \sin .^{2}{\frac {1}{2}}(\omega -\omega ')\mathrm {\left({\frac {1}{D}}+{\frac {1}{D'}}\right)} dy\,dy'.\end{aligned}}$