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(43) L’aiguille étant toujours parallèle à la plaque, si la plaque, au lieu d’être horizontale, était perpendiculaire à la direction du magnétisme terrestre, il faudrait supprimer dans toutes les formules précédentes, les termes relatifs à l’action de la terre, dont l’aiguille serait alors indépendante. L’équation (p) se réduirait donc à celle-ci :

${\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}={\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{\theta ^{2}n'}}\left(n-{\frac {d\psi }{dt}}\right)\,;$

$\delta '$ désignant toujours la déviation de l’aiguille due à la vitesse $n'$ de la plaque, dans la position horizontale du système. En l’intégrant une première fois, et supposant la vitesse initiale de l’aiguille égale à zéro, il vient

${\frac {d\psi }{dt}}=n\left(1-e^{-{\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{\theta ^{2}n'}}t}\right)\,;$

ce qui montre déja que la vitesse de l’aiguille approchera de plus en plus d’être constante et égale à celle de la plaque. Si l’on intègre une seconde fois, et que l’on compte l’angle $\psi$ à partir de la position initiale de l’aiguille, on aura

$\psi =nt-{\frac {nn'\theta ^{2}}{\pi ^{2}\sin .\delta '}}\left(1-e^{-{\frac {\pi ^{2}\sin .\delta '}{\theta ^{2}n'}}t}\right).$

Supposons qu’on ait marqué par un trait, la projection de l’aiguille sur la plaque avant que le mouvement ait commence ; que l’on marque par un autre trait, cette projection à l’époque où la vitesse de l’aiguille est sensiblement égale à celle de la plaque ; et que l’on désigne par $\delta _{1}$ la quantité angulaire dont le second trait se trouvera en arrière du premier par rapport au sens de la rotation, on aura, d’après cette équation,

$\delta _{1}={\frac {nn'\theta ^{2}}{\pi ^{2}\sin .\delta '}}.$