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d’où il résulte que le rapport de $\mathrm {P}$ à $\Pi$ aura ${\frac {l}{f}}$ pour facteur ; quantité qui sera très-petite dans toutes les expériences que l’on pourra faire. Les effets de la force verticale, dont la théorie a indiqué l’existence, ne seront bien sensibles que dans les déviations de l’aiguille d’inclinaison que nous considérerons bientôt.

(41) Pour effectuer le développement de la quantité $\Psi$ suivant les puissances de $g$ et $g',$ lorsque l’aiguille sera en mouvement, il faudra d’abord développer les fonctions $\xi$ et $\xi '$ de $t-gz$ et $t-g'z$ qu’elle renferme, ce qui donnera

${\begin{aligned}\xi \ &=\psi -{\frac {d\psi }{dt}}gz+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}g^{2}z^{2}-{\text{etc}}.,\\\xi '&=\psi -{\frac {d\psi }{dt}}g'z+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}g'^{2}z^{2}-{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Le premier terme du développement de $\Psi$ sera de la forme :

$\mathrm {H} \left(n-{\frac {d\psi }{dt}}\right)\,;$

$\mathrm {H}$ étant une quantité indépendante de $t$ et de $n.$ Les autres termes renfermeront les différentielles de $\psi$ des ordres supérieurs ; mais à cause que la série est, en général, très-convergente, d’après ce qu’on vient de dire, on pourra calculer la valeur de $\psi$ en fonction de $t,$ par des approximations successives et en intégrant seulement des équations du second ordre. Après avoir mis dans l’équation (l) à la place de $\Psi$ son premier terme, on en déduira une première valeur approchée de $\psi \,;$ on la substituera dans le second terme de $\Psi ,$ au moyen duquel et de l’équation (l), on déterminera une