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(40) Lorsque la direction de l’aiguille aimantée sera telle, si cela est possible, que l’action de la terre et celle de la plaque tournante se fassent équilibre, l’angle $\psi$ sera constant, et en appelant $\delta$ sa valeur inconnue, on aura $\psi '=\xi =\xi '=\delta .$ En mettant $\beta$ et $\beta '$ à la place de $t-t'$ et $\psi '-\delta ,$ dans les valeurs de $\gamma$ et $\gamma ',$ elles deviendront

$\gamma ={\frac {1}{2}}(n\beta -ngz+\beta '),\qquad \gamma '=(n\beta -ng'z+\beta ')\,;$

les différentiations par rapport à $t$ et $\psi '$ s’opéreront sur $\beta$ et $\beta ',$ et après les avoir effectuées, on fera $\beta =0,$ $\beta '=0.$ La valeur de $\delta$ s’obtiendra en égalant à zéro le second membre de l’équation (l), en sorte que l’on aura

$\sin .\delta ={\frac {3\mu bp}{4ml}}{\frac {d^{3}.}{dh\,d\beta \,d\beta '}}\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\sin .^{2}\gamma \right)^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\sin .^{2}\gamma '\right)^{\frac {1}{2}}}}\right.$

$\left.-{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\cos .^{2}\gamma \right)^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{\left(h^{2}+l^{2}\cos .^{2}\gamma '\right)^{\frac {1}{2}}}}\right]e^{-z}dz.$

Cette valeur de $\sin .\delta$ ne renfermant pas le temps $t,$ il en résulte que l’équilibre de l’aiguille sera effectivement possible, toutes les fois qu’elle ne surpassera pas l’unité... L’angle sera, dans cet état, la déviation de l’aiguille à partir du méridien magnétique ; et l’on voit que son \sinus sera proportionnel à la quantité, ou à l’intensité magnétique de l’aiguille, ce qui tient à ce que cette déviation est l’effet de la réaction de la plaque aimantée par l’influence des pôles de l’aiguille. En déterminant la valeur de $n,$ au moyen de l’équation $\sin .\delta =1,$ on aura la limite de vitesse au-delà de laquelle l’action de la plaque tournante fera prendre à l’aiguille un mouvement continu.