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se déduira de celle de $\varphi '(k,k'),$ en y changeant le signe de $b\,;$ on aura ensuite

$\varphi '(k,k')-\varphi '(k',k)={\frac {2b\alpha \alpha '}{h^{2}}}\varphi (h,h)-24b\alpha \alpha '\mathrm {H} .$

(38) La question est ainsi réduite à trouver les valeurs des intégrales $\varphi (k,k)$ et $\mathrm {H} ,$ lesquelles deviendront

${\begin{aligned}\varphi (k,k)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {k^{2}r\,dr\,du}{\left[\left(k^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}r^{2}\cos .^{2}u\right]^{\frac {3}{2}}}},\\\mathrm {H} &=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {h^{2}r^{3}\cos .^{2}u\,dr\,du}{\left[\left(k^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}r^{2}\cos .^{2}u\right]^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}$

en y faisant

$y=r\cos u,\qquad y'=r\sin .u,\qquad dy\,dy'=r\,dr\,du,$

et observant que les limites relatives à $r$ et $u$ seront $r=0$ et $r=\infty ,$ $u=0$ et $u=2\pi ,$ comme précédemment.

Si nous faisons, pour un moment,

$k^{2}+\alpha ^{2}=a^{2},$

nous aurons

${\begin{aligned}\varphi (k,k)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {k^{2}r\,dr\,du}{\left[r^{4}+2\left(a^{2}-2\alpha ^{2}\cos .^{2}u\right)r^{2}+a^{4}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\\mathrm {H} &={\frac {1}{6}}{\frac {d.\varphi (h,h)}{d.\alpha ^{2}}}.\end{aligned}}$

Par les règles ordinaires, l’intégration relative à $r,$ et ensuite celle qui répond à $u,$ s’effectuent sous forme finie, et l’on a

$\varphi (k,k)={\frac {k^{2}}{4a^{2}}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {du}{a^{2}-\alpha ^{2}\cos .^{2}u}}={\frac {\pi k^{2}}{2a^{3}{\sqrt {a^{2}-\alpha ^{2}}}}},$