se déduira de celle de
en y changeant le signe de
on aura ensuite
![{\displaystyle \varphi '(k,k')-\varphi '(k',k)={\frac {2b\alpha \alpha '}{h^{2}}}\varphi (h,h)-24b\alpha \alpha '\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b555d78564084a7d27cbf79737aecaa28e7df5)
(38) La question est ainsi réduite à trouver les valeurs des intégrales
et
lesquelles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (k,k)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {k^{2}r\,dr\,du}{\left[\left(k^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}r^{2}\cos .^{2}u\right]^{\frac {3}{2}}}},\\\mathrm {H} &=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {h^{2}r^{3}\cos .^{2}u\,dr\,du}{\left[\left(k^{2}+\alpha ^{2}+r^{2}\right)^{2}-4\alpha ^{2}r^{2}\cos .^{2}u\right]^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38bcdaed1eb1d107ad1c46d2d9fae1cadd6389c)
en y faisant
![{\displaystyle y=r\cos u,\qquad y'=r\sin .u,\qquad dy\,dy'=r\,dr\,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4fc04cc053a7ea851e762f00ac085061f23685)
et observant que les limites relatives à
et
seront
et
et
comme précédemment.
Si nous faisons, pour un moment,
![{\displaystyle k^{2}+\alpha ^{2}=a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644bb16d4081088ae11d5e26103d0ed27431b015)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (k,k)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }{\frac {k^{2}r\,dr\,du}{\left[r^{4}+2\left(a^{2}-2\alpha ^{2}\cos .^{2}u\right)r^{2}+a^{4}\right]^{\frac {3}{2}}}},\\\mathrm {H} &={\frac {1}{6}}{\frac {d.\varphi (h,h)}{d.\alpha ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ea24abe4a27a6515b94ea4ef4e3790c83dd619)
Par les règles ordinaires, l’intégration relative à
et ensuite celle qui répond à
s’effectuent sous forme finie, et l’on a
![{\displaystyle \varphi (k,k)={\frac {k^{2}}{4a^{2}}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {du}{a^{2}-\alpha ^{2}\cos .^{2}u}}={\frac {\pi k^{2}}{2a^{3}{\sqrt {a^{2}-\alpha ^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64537629fd0eecf81464a1672fde0a27d98cc36)