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(36) Si l’on appelle $\mathrm {P}$ l’action verticale de la plaque sur les deux pôles de l’aiguille, qui ont, dans ce sens, la même ordonnée $h,$ on aura

$\mathrm {P} =-{\frac {d\mathrm {Q} }{dh}}.$

Ce sera la diminution ou l’augmentation apparente du poids de l’aiguille, selon que cette valeur de $\mathrm {P}$ sera positive ou négative.

De même, en désignant par la somme des moments des forces provenant de l’action de la plaque, qui tendent à faire tourner l’aiguille autour de l’axe vertical mené par son point de suspension, et à augmenter l’angle $\psi ,$ nous aurons

$\Psi =-{\frac {d\mathrm {Q} }{d\psi }}.$

Par conséquent l’équation complète de son mouvement horizontal, sera

$\lambda ^{2}{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}=-2m\mu l\sin .\psi +\Psi .$

(l)

Il s’agira donc de former les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\Psi$ d’après celle de $\mathrm {Q}$ qui est donnée par l’équation (k) ; et comme on ne doit différentier que par rapport aux variables $h$ et $\psi$ qui sont comprises dans $\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {U} _{2}$ on aura

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} ={\frac {-3p}{8\pi }}{\frac {d.}{dt}}&\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\left[\left({\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dh}}+{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dh}}\right)\operatorname {\mathrm {F} } '(t-g'z)\right.\right.\\&\left.\left.+\left({\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dh}}-{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{dh}}\right)\operatorname {\mathrm {F} } (t-gz)\right]r\,dr\,du\right)e^{-z}dz,\\\Psi ={\frac {-3p}{8\pi }}{\frac {d.}{dt}}&\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\left[\left({\frac {d\mathrm {U} _{1}}{d\psi }}+{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{d\psi }}\right)\operatorname {\mathrm {F} } '(t-g'z)\right.\right.\\&\left.\left.+\left({\frac {d\mathrm {U} _{1}}{d\psi }}-{\frac {d\mathrm {U} _{2}}{d\psi }}\right)\operatorname {\mathrm {F} } (t-gz)\right]r\,dr\,du\right)e^{-z}dz.\end{aligned}}\right\}$

(m)