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${\begin{aligned}\mathrm {Q} ={\frac {3p}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }&\left[(\mathrm {U_{1}+U_{2}} ){\frac {d\operatorname {F} '(t-g'z)}{dt}}\right.\\&\left.+(\mathrm {U_{1}-U_{2}} ){\frac {d\operatorname {F} (t-gz)}{dt}}\right]e^{-z}dz\,dr\,du.\end{aligned}}$

(k)

Si $h,h',h'',$ sont les trois coordonnées parallèles aux axes des $x,y,z,$ de l’un des points extérieurs, les trois composantes parallèles aux mêmes axes, de l’action de la plaque sur ce point, seront, d’après les équations (3) :

$-{\frac {d\mathrm {Q} }{dh}},\quad -{\frac {d\mathrm {Q} }{dh'}},\quad -{\frac {d\mathrm {Q} }{dh''}},$

en ne faisant varier, suivant la remarque du n^o 17, que les $h,h',h'',$ qui entreront dans $\mathrm {U_{1}}$ et $\mathrm {U} _{2}.$ Soit $l$ la perpendiculaire abaissée du même point sur l’axe des $x,$ et $\psi$ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des $x,\,z,$ de sorte qu’on ait

$h'=l\sin .\psi ,\qquad h''=l\cos .\psi .$

Si l’on remplace ces coordonnées horizontales $h'$ et $h'',$ par les variables et $\psi ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {Q} }{dl}}={\frac {h'}{l}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dh'}}+{\frac {h''}{l}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dh''}},\qquad {\frac {d\mathrm {Q} }{d\psi }}=h''{\frac {d\mathrm {Q} }{dh'}}-h'{\frac {d\mathrm {Q} }{dh''}}\,;$

d’où l’on peut conclure que les composantes horizontales seront aussi

$-{\frac {d\mathrm {Q} }{dl}},\qquad -{\frac {d\mathrm {Q} }{ld\psi }}\,;$

la première tendant à augmenter la distance $l,$ et la seconde l’angle $\psi .$ Le moment de l’action de la plaque sur le même point, rapporté à son axe de rotation, sera $-{\frac {d\mathrm {Q} }{d\psi }}.$