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$e$ désignant la base de logarithmes népériens : c’est ce qu’on vérifiera sans peine, soit par des intégrations par parties, soit en développant suivant les puissances de $g$ et $g',$ et effectuant ensuite les intégrations relatives à $z.$ Mais quelles que soient les quantités $g_{1},g_{2},$ etc., $g'_{1},g'_{2},$ etc., nous pourrons toujours employer ces formules pour exprimer d’une manière simple, les valeurs de $\psi t$ et $\psi 't,$ pourvu que l’on convienne de remplacer dans leurs développements selon les puissances de $g$ et $g',$ les puissances quelconques $g^{n}$ et $g^{'n},$ par $g_{n}$ et $g'_{n},$ c’est-à-dire, les exposants des indéterminées $g$ et $g'$ par des indices inféricurs qui leur soient égaux. Ces expressions seront surtout utiles, pour faciliter les intégrations dans lesquelles $\psi t$ et $\psi 't$ se trouveront engagées, lorsqu’elles pourront s’effectuer sans donner des valeurs particulières à $g$ et $g'\,;$ ce qui permettra de ne développer les résultats suivant les puissances de $g$ et $g',$ et de n’y remplacer les exposants par des indices inférieurs, qu’après ces intégrations.

(32) Ces valeurs de $\psi t$ et $\psi 't$ et l’équation (c) dont elles dérivent, ne seront exactes qu’à la limite où l’épaisseur de la plaque serait infiniment petite : dans la réalité, cette épaisseur ne pourra être que très-petite, et ces valeurs ne seront qu’approchées. Si l’on en veut calculer de plus exactes, on ajoutera aux formules (i), de nouveaux termes $\psi _{1}t$ et $\psi '_{1}t\,;$ puis on substituera dans l’équation (b), les valeurs de $\left({\frac {\mathrm {d} \varphi '}{\mathrm {d} x'}}\right)$ et $\left[{\frac {\mathrm {d} \varphi '}{\mathrm {d} x'}}\right]$ qui en résulteront. La partie de $\mathrm {X}$ qui répondra à ces nouveaux termes, pourra se calculer dans l’hypothèse d’une épaisseur infiniment petite ; on la trouvera, par l’analyse du n^o 27, égale à $2\pi \psi _{1}t\,;$ et la seconde valeur appro-