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et ainsi de suite. La loi de formation des quantités $\nabla \operatorname {F} t,\,\nabla ^{2}\operatorname {F} t,\,\nabla ^{3}\operatorname {F} t,$ etc., n’est pas difficile à saisir : le coëfficient de ${\frac {d^{i}\operatorname {F} t}{dt^{i}}}$ dans $\nabla ^{'i}\operatorname {F} t$ se compose de tous les produits de $i'$ facteurs $q,\,q_{1},\,q_{2},\,q_{3},$ etc., dans lesquels la somme des indices inférieurs est égale à $i\,;$ chaque produit étant répété autant de fois que ses facteurs peuvent subir de permutations différentes. Ainsi par exemple, le coëfficient de ${\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}$ dans $\nabla ^{3}\operatorname {F} t$ se compose de tous les produits de trois facteurs dans lesquels la somme des indices est égale à quatre : le produit $q_{3}q_{1}q$ s’y trouve répété six fois, parce que ses facteurs inégaux peuvent subir six permutations différentes ; et le produit $q_{4}q^{2}$ n’y entre que trois fois, parce que ses facteurs ne sont susceptibles que de ce nombre de permutations différentes, à cause de l’égalité de deux d’entre eux. Or, en substituant les valeurs de ces quantités $\nabla \operatorname {F} t,\,\nabla ^{3}\operatorname {F} t,$ etc., dans l’expression de $\psi t,$ on trouve

$\psi t=-{\frac {1}{1+aq}}\left(q\operatorname {F} t-h_{1}{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}+h_{2}{\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-h_{3}{\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}+{\text{etc}}.\right),\quad (f)$

où l’on a fait, pour abréger :

${\begin{aligned}&{\frac {q_{1}}{1+aq}}=h_{1},\\&{\frac {q_{2}}{1+aq}}-{\frac {aq_{1}^{2}}{(1+aq)^{2}}}=h_{2},\\&{\frac {q_{3}}{1+aq}}-{\frac {2aq_{2}q_{1}}{(1+aq)^{2}}}+{\frac {a^{2}q_{1}^{3}}{(1+aq)^{3}}}=h_{3},\\&{\frac {q_{4}}{1+aq}}-{\frac {a\left(2q_{3}q_{1}+q_{2}^{2}\right)}{(1+aq)^{2}}}+{\frac {3a^{2}q_{2}q_{1}^{2}}{(1+aq)^{3}}}-{\frac {a^{3}q_{1}^{4}}{(1+aq)^{4}}}=h_{4},\\&{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}$

et la loi de formation de ces coëfficients $h_{1},\,h_{2},\,h_{3},$ etc., est