ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} -(t-\theta ){\frac {d\mathrm {V} }{dt}}+{\frac {1}{2}}(t-\theta )^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dt^{2}}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3684736b71caf6e49a98d499e74a8c42e96d3eba)
etc.,
et que l’on représente par
la somme des valeurs de
qui répondent à
et
on en conclura
![{\displaystyle \Pi t=\int _{0}^{t}\left(\left({\frac {dV_{1}}{dx}}\right)+\left[{\frac {dV_{1}}{dx}}\right]\right)f'(t-\theta )dt=\nabla \operatorname {F} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2924e6d41a23381543e0f5aee7417f3248ddff04)
La formule précédente se changera donc en celle-ci :
![{\displaystyle \psi t=-\nabla \operatorname {F} t+a\nabla ^{2}\operatorname {F} t-a^{2}\nabla ^{3}\operatorname {F} t+a^{3}\nabla ^{4}\operatorname {F} t-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c5dd89ef9be70e526830089d8904019f526fc6)
etc.,
dont on ne devra toutefois faire usage que quand elle formera une série convergente.
(30) Nous pouvons ordonner ses termes suivant les différentielles croissantes de
En effet, nous avons d’abord
![{\displaystyle \nabla \operatorname {F} t=q\operatorname {F} t-q_{1}{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}+q_{2}{\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-q_{3}{\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}+q_{4}{\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a241f0d357e6bbcafb336a565c4dc1cf25fa56)
etc. ;
en mettant
à la place de ![{\displaystyle \operatorname {F} t,ilvient}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8d42795899b485fa8f5154bc730f7ee75d6aa5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\operatorname {F} t=q^{2}\operatorname {F} t-2q_{1}q{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}&+\left(2q_{2}q+q_{1}^{2}\right){\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-\left(2q_{3}q+2q_{2}q_{1}\right){\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}\\&+\left(2q_{4}q+2q_{3}q_{1}+q_{2}^{2}\right){\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-{\text{etc}}.\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5663c2451a15a1e69b86e8b89f460de6525da8)
par la même substitution on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{3}\operatorname {F} t=q^{3}\operatorname {F} t-3q_{1}q^{2}{\frac {d\operatorname {F} t}{dt}}+\left(3q_{2}q^{2}+q_{1}^{2}q\right){\frac {d^{2}\operatorname {F} t}{dt^{2}}}-\left(3q_{3}q^{2}+6q_{2}q_{1}q+q_{1}^{3}\right){\frac {d^{3}\operatorname {F} t}{dt^{3}}}&\\+\left(3q_{4}q^{2}+6q_{3}q_{1}q+3q_{2}^{2}q\right){\frac {d^{4}\operatorname {F} t}{dt^{4}}}-{\text{etc}}.\,;&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49f57234888c8f0dee865e393a32970907a956c)