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et par conséquent,

$-a^{2}\nabla ^{2}\Pi t,$

pour le troisième terme de la série $(e).$

Examinons encore le quatrième terme de cette série. Il faudra que $\theta$ ne reçoive que des valeurs sensibles et très-peu différentes de $t\,;$ il en sera de même à l’égard de $t'$ par rapport à $\theta ,$ et ensuite à l’égard de $t''$ par rapport à $t'.$ On aura donc successivement :

$\int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''=\nabla \Pi t',$

$\int _{0}^{\theta }\left(\int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''\right)f'(\theta -t')dt'=\nabla ^{2}\Pi \theta ,$

$\int _{0}^{t}\left(\int _{0}^{\theta }\left(\int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''\right)f'(\theta -t')dt'\right)f'(t-\theta )d\theta =\nabla ^{3}\Pi t\,;$

et le quatrième terme de la série $(e)$ sera

$a^{3}\nabla ^{3}\Pi t,$

en convenant de représenter par $\nabla ^{3}\Pi t,$ ce que devient $\nabla ^{2}\Pi t,$ lorsqu’on y remplace $\Pi t$ par $\nabla \Pi t,$ ou $\nabla \Pi t,$ quand on y met $\nabla ^{2}\Pi t,$ au lieu de cette même fonction $\Pi t.$

Sans aller plus loin, nous voyons que pour des valeurs sensibles de $t,$ l’équation $(e)$ prendra la forme

$\psi t=-\Pi t+a\nabla \Pi t-a^{2}\nabla ^{2}\Pi t+a^{3}\nabla ^{3}\Pi t-$etc.

Quant à la fonction $\Pi t$ qu’elle renferme elle se déduira de $\Psi t$ en y supposant que $t$ ait acquis une grandeur sensible. Or si l’on développe $\mathrm {V} _{1}$ suivant les puissances de $t-\theta ,$