et par conséquent,
![{\displaystyle -a^{2}\nabla ^{2}\Pi t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c8b6b88fcdac9d59dffde24bef4d59a0614e2c)
pour le troisième terme de la série ![{\displaystyle (e).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48363ea5d66d2c69e6e3c61376245eecd343c767)
Examinons encore le quatrième terme de cette série. Il faudra que
ne reçoive que des valeurs sensibles et très-peu différentes de
il en sera de même à l’égard de
par rapport à
et ensuite à l’égard de
par rapport à
On aura donc successivement :
![{\displaystyle \int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''=\nabla \Pi t',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b123a87d58abe1dcf91b829cf6d0778e048d0bc)
![{\displaystyle \int _{0}^{\theta }\left(\int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''\right)f'(\theta -t')dt'=\nabla ^{2}\Pi \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b00108f9918c6736e7c71db1c8f7da8361870d1)
![{\displaystyle \int _{0}^{t}\left(\int _{0}^{\theta }\left(\int _{0}^{t'}\Psi t''f'(t'-t'')dt''\right)f'(\theta -t')dt'\right)f'(t-\theta )d\theta =\nabla ^{3}\Pi t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b228773a88d10e1efee3f84149df8e911377ff9)
et le quatrième terme de la série
sera
![{\displaystyle a^{3}\nabla ^{3}\Pi t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef54e250fb26d90f7f31989637ef36bde449f0a)
en convenant de représenter par
ce que devient
lorsqu’on y remplace
par
ou
quand on y met
au lieu de cette même fonction ![{\displaystyle \Pi t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ce1929057aab2a5fcc85798111e7a65776c905)
Sans aller plus loin, nous voyons que pour des valeurs sensibles de
l’équation
prendra la forme
![{\displaystyle \psi t=-\Pi t+a\nabla \Pi t-a^{2}\nabla ^{2}\Pi t+a^{3}\nabla ^{3}\Pi t-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce5a1387651160fa231aa615deab298062d8a6c)
etc.
Quant à la fonction
qu’elle renferme elle se déduira de
en y supposant que
ait acquis une grandeur sensible. Or si l’on développe
suivant les puissances de